INTEGRAL TENTU - TEOREMA DASAR KALKULUS

 

Halo guys, Assalamualaikum.

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu -teorema dasar kalkulus, yuk simak materinya.

A. Teorema Dasar Kalkulus

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkuklus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan f fungsi kontinyu pada selang `[a,b]` dan andaikan f fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

`\int_{a}^{b} f(x) dx= F(b)-F(a)`

Contoh:

1. `\int_{-4}^{-1} 5` `dx`

Jawab:

`\int_{-4}^{-1} 5` `dx=  [5x]_{-4}^{-1}`

                   `=5(-1)-5(-4)`

                   `=15`

2. `\int_{2}^{3} x^5` `dx`

Jawab:

`\int_{2}^{3} x^5` `dx= [1/6 x^6]_{2}^{3}`

                  `=1/6 (3^6-2^6)`

                  `=1/6 (729-64)`

                  `=1/6 (665)`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Jika f kontinu pada selang [a,b] dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka:

`d/dx(\int_{a}^{x}f(t) dt)=f(x)`

Contoh:

1. `d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)`

Penyelesaian:

  `d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)= d/dx [3/2 t^2+2t]_{2}^{x^2}`

                           `= d/dx ((3/2 (x^2)^2 +2x^2)- (3/2 (2)^2 + 2.2))`

                           `=d/dx(3/2 x^4 +2x^2-10)`

                           `= 6x^3 +4x`

B. Rumus - Rumus Integral Tentu 

Jika f dan g fungsi terintegralkan pada selang [a,b] dan k konstanta, maka:

`(1) \int_{a}^{b} k` `f(x)dx = k\int_{a}^{b} f(x) dx`
`(2)\int_{a}^{b} (f(x)+g(x)) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+ \int_{a}^{b} g(x) dx `
`(3)\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx= \int_{a}^{b} f(x) dx-\int_{a}^{b} g(x) dx`
`(4)\int_{a}^{b} f(x)dx= -\int_{a}^{b} f(x) dx, a>b`
`(5) \int_{a}^{c}f(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{b}^{c} f(x) dx, ab` `€[a,c]`

Contoh:

1. `\int_{2}^{3} 4x^3 dx`

Penyelesaian:

`\int_{2}^{3} 4x^3 dx=4 \int_{2}^{3} x^3 dx`

                     `=[4×1/4x^4]_{2}^{3}`

                     `=(4 ×1/4 3^4)- (4 ×1/4 2^4 )`

                     `=4((3^4-2^4)/4)`

                     `=4((65)/4)`

                     `=65`

2. `\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx`

Penyelesaian: 

`\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx= \int_{3}^{5} 8x^3` `dx+\int_{3}^{5} 3x``dx`

                         `=[2x^4]_{3}^{5}+[(3x^2)/2]_{3}^{5}`

                         `=(2.5^4-2.3^4)+(3.5^2-3.3^2)/2`

                         `= 2(5^4-3^4)+3((5^2-3^2)/2)`

                         `=1088+24`

                         `=1112`

               

3. `\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx`

Penyelesaian:

 `\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx= \int_{1}^{3} 2x^3` `dx -\int_{1}^{3} 5x` `dx-\int_{1}^{3}3` `dx`

                          `=[(x^4)/2]_{1}^{3}-[(5x^2)/2]_{1}^{3}-[3x]_{1}^{3}`

                          `=(3^4-1^4)/2-(5.3^2-5.1^2)/2-(3.3-3.1)`

                          `=(40-20-6)`

                          `=14`

 

4. `int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx`

Penyelesaian:

`\int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx=-int_{4}^{9} x^{-1/2}` `dx`

                      `=-[2x^{1/2}]_{4}^{9}`

                      `=-[2\sqrt{x}]_{4}^{9}`

                      `=-(2 sqrt{9}-2sqrt{4})`

                      `=-(6-4)`

                      `=-2`

C. Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap `f(-x)=f(x)`, dan ganjil jika `f(-x)=-f(x)`. Untuk fungsi demikian berlaku:

`(1) \int_{-a}^{a} f(x) dx= 2 \int_{0}^{a} f(x)dx`, jika f fungsi genap

`(2)\int_{-a}^{a} f(x) dx=0`, jika f fungsi ganjil

Contoh:
Hitunglah `\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx`

Penyelesaian:

`\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx`

`f(x)= (x^5)/(x^2+4)`

`f(-x)= ((-x)^5)/((-x)^2+4)= -x^5/(x^2+4) =-f(x)`

Karena `f(-x)=-f(x)`, maka `f(x)=-x^5/(x^2+4)` adalah fungsi ganjil, sehingga:

    `\int_{-5}^{5} (x^5)/x^2+4 dx=0`

b. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikiaan sehingga `f(x + p) = f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka:

`\int_{a+p}^{b+p} f(x) dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) dx`

Contoh:

Hitunglah `\int_{0}^{2π} |sin x| dx`

Penyelesaian:

Karena `f(x)=|sin x|` fungsi periodik dengan periode `π`, maka:

`\int_{0}^{2π} |sin x| dx= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{π}^{2π} |sin x| dx`

                           `= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0+π}^{π+π} |sin x| dx` 

                           `= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0}^{π} |sin x| dx`  

                           `=2 \int_{0}^{π} |sinx| dx`

                           `= 2\int_{0}^{π} sinx dx`

                           `= 2[-cosx]_{0}^{π}`

                           `= 2(-cosπ-(-cos 0))`

                           `= 2(-(1)-(-1))`

                           `=4`

   

c. Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

Jika f fungsi kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_{a}^{b} f(x) dx=f(c)-f(b-a)`

Contoh:
Carilah nilai c sedemikian sehingga `\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)` jika `f(x)=x^2`

Penyelesaian:

`\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx`

                   `=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}`

                   `=27/3 -1/3`

                   `=26/3`

`\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`

`\frac{26}{3}=c^{2}(2)`

`c^2=26/6`

`c=±\sqrt{26/6}`

`c=±\sqrt{13/3}`

`c=±\sqrt{39/6}`

Untuk `c` `-\sqrt{39/6} ` tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang [1,3] jadi `c=\sqrt{39/6}.`

Sekian materi mengenai materi integral tentu-teorema dasar kalkulus, semoga teman-teman semakin paham yaa:')

Read More

INTEGRAL TENTU - KONSEP LUAS

Halooo guys,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu, apasih integral tentu?. Yukk, simak pembahasan-nya

Integral tentu adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan.

Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

 1. Luas Menurut Poligon Dalam 

 Sebagai contoh, akan dicari `L(p)` Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2`, sumbu `–x`, garis `x = 0` dan `x = 2`. Pertama dipartisikan selang `0≤x≤2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `(\Delta)=\frac{2}{n}` dan memakai titik-titik : 

 

                  `x_0 = 0`

                  `x_1 = 0 + \Delta x = frac{2}{n} = (\frac{2}{n})`

                  `x_2 = 0 + \Delta 2x = \frac{4}{n} = 2 (\frac{2}{n})`

                  `x_3 = 0 + \Delta 3x = \frac{4}{n} = 3 (\frac{2}{n}) `

                         .

                         .

                  `x_n= 0 + n\Delta x = n (\frac{2}{n} = 2)`

Pada gambar tampak bahwa `L(P)_{dalam} < L(P)_{luar}`

2. Luas Poligon Luar

 `L(P)_{luar} = f(X_1) \Delta x + f(X_2) \Delta x+f(X_2) \Delta x+.....+ f(X_{n-1}) \Delta x`

                 `=1(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}+2(\frac{1}{2n})^2\frac{2}{n} +...+ n(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}`

                `=(\frac{2}{n})^3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)`

                `=(\frac{2}{n})^n\sum_{i=1}^ni^2`

                `=(\frac{2}{n})^3 (\frac{1}{6} (n+1)(3n+2))`

                `=8/3+4/n+4/3 n^2`

Sehingga: 

`\lim_{ n\to \infty} L(P)_{luar}``=\lim_{ n\to \infty} (\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3}n^2)=\frac{8}{3}`

Menurut teorema apit, maka untuk `L(P_{dalam}) < L(P) <L(P_{luar})` didapat `L(P)=8/3`. 

Selanjutnya, diambil suatu fungsi `f` yang terdefinisi pada selang`[a,b]`. Partisikan selang `[a,b]`atas `n` selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik :

`a = X_0<X_1<X_2 …….<X_{n-1}<X_n = b, \Delta X_i = X_i – X_{i-1}` (jarak antara titik `X_{i-1}` dengan `X_i`. Pada setiap selang bagian `(X_{i-1},X_i)` dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\overline {X_i}`sebagai berikut :

Sebuah partisi dari `[a,b]` dengan 5 selang bagian, jumlah:

`R_p=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\Delta x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi. Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `|P|`menyatakan norma P, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi `P`, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:

Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `[a,b]`. Jika nilai dari `\lim_{ |P|\to 0}=``\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1` ada, maka dikatakan bahwa `f` terintegralkan pada `[a,b]`dapat ditulis sebagai: `\int _ { a } ^ { b} f(x)dx=\lim_{|P|\to 0} =\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1`yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) `f` dari `a` ke `b`.

Pada lambang `\int _ { a } ^ { b} f(x)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut.

Dalam definisi`\int _ { a } ^ { b} f(x)dx` secara implisit kita menganggap bahwa `a<b`. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.   

                               `•\int_a^bf\left(x\right)dx=0` 

                           `•\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_b^af\left(x\right)dx,a>b`

Contoh soal:

1.Hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu `x`, garis `x=2` dan `x=4` daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.

Penyelesaian:

Karena selang `[2,5]` dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\Delta x=\frac{4-2}{5}=frac{2}{5}`, dan

         `x_0=2`

        `x_1=2+1\Delta x=2+2/5=12/5`

         `x_2=2+2\Delta x=2+4/5=14/5`

         `x_3=2+3\Delta x=2+6/5=16/5`

         `x_4=2+4\Delta x=2+8/5=18/5`

          `x_5=2+5\Delta x=2+10/5=4`

Luas poligon dalam:

`L(P_{dalam})= f(x_0) \Delta x+f(x_1) \Delta x+f(x_2) \Delta x+f(x_3) \Delta x+f(x_4) \Delta x`

  `=(1/2)(2)(2/5)+ (1/2)(12/5)(2/5)+(1/2)(14/5)(2/5)+(1/2)(16/5)(2/5)+(1/2)(18/5)(2/5)`

 `=(2/5)+(12/25)+(14/25)+(16/25)+(18/25)`

 `=(14/25)`  

2. Hitunglah jumlah riemen `R_p` untuk `f(x)=x-1` dan partisi p adalah `3<3,75<4,25<5,5<6<7` serta titik-titik sampel `x_1=3,x_2=4,x_3=4.75,x_4=6,`dan `x_5=6.75`

Penyelesaian:

`R_p=\sum_{i=1}^5f(x_1)\Delta x`

   `=(2)(0,75)+(3)(0,5)+(3,75)(1,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)`

`= 15,9375`

3. Hitunglah `int_{-1}^3(x+4)dx` dengan menggunakan integral Riemann.

Penyelesaian: 

Bagi selang `[-1,3]` atas n selang bagian yang sama, masing-masing sebesar `\Delta x=(3-(-1))/n=4/n`. Pada setiap selang bagian `[x_{i-1},x_{i}]` digunakan `\overline x=x_i` sebagai titik sampai sehingga:

                  `x_0 = -1`

                  `x_1 = -1+ \Delta x = -1+ frac{4}{n}`

                  `x_2 = -1 + 2 \Delta x =-1+2(\frac{4}{n})`

                  `x_3 = -1 + 3 \Delta x = -1 + 3( \frac{4}{n})`

                         .

                         .

                  `x_i= -1 +  i \Delta x = -1+n (\frac{4}{n})`

                        .

                        .

                  `x_n= -1 + n\Delta x = -1+n (\frac{4}{n})=3`

Maka `f(x_1)=x_1 +4=(-1+i(4/n))+4= 3+ {4i}/n`

`\sum_{i=0}^n f(\overline{x_i})x_i=\sum_{i=0}^nf(\overline{x_i})\Deltax`

`=\sum_{i=0}^n (3+ {4i}/n)(4/n)=\sum_{i=1}^n(12/n) + \sum_{i=1}^n {16i}/n^2`

`=12/n (n) \sum_{i=1}^n1 +16/n^2\sum_{i=1}^n i`

`=12/n (n) + 16/n^2 (1/2 n(n-1))`

`=20-8/n`

Jadi, `int_{-1}^3(x+4)dx= \lim_{n to \infty} (20-8/n)= 20`

Sekian materi mengenai integral tentu, semoga teman-teman paham yaa :')

Read More

NOTASI SIGMA

 

Halo guys, pada artikel ini kita akan membahas mengenai materi notasi sigma. Yukk, simak materinya.

A. PENULISAN SIGMA

Perhatikan penulisan sigma berikut:

    1. `1^2+2^2+ 3^2+...+100^2 \to \sum_{i=1}^{100} i^2`

    2. `a_1, a_2, a_3,...+a_n \to \sum_{i=1}^{n} a_i`

Notasi sigma dilambangkan dengan `\sum` (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S. Menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks `i` terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga:

      ` • \sum_{i=2}^{5} b_i =b_2, b_3,b_4, b_5`

      `•\sum_{u=3}^{n} \frac{1}{u} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}`

      `•\sum_{k=1}^{3} \frac{k}{k^2+1}= \frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}`

      `•\sum_{i=m}^{n} F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`

Bentuk lain penulisan sigma 

Misalnya:  

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}=c_i` mempunyai nilai sama, maka:

     `\sum_{i=1}^{n}c_i= c+c+c+...+c=nc`

     `\sum_{i=1}^{n}c_i=nc`

Contoh:

    1. `\sum_{i=1}^{15} 3 = 15(3)=45`

    2. `\sum_{i=1}^{200} 5 =200(5)=1000`

    3. `\sum_{a=0}^{3} x^5 = x^5+x^5+x^5+x^5`

B. PERUBAHAN INDEKS JUMLAH

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut contoh soalnya:

Nyatakan `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol

Penyelesaian:

`l= k-3`

`\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} = \sum_{l=0}^{7} 5^{(l+3)-2}`

                      `=\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}`

Dapat di cek bahwa hasil dari `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dan `\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}` adalah `5+5^2+5^3+5^4+5^5`

C. SIFAT  KELINEARAN SIGMA

Misalnya `a_i` dan `b_i` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta maka:

    `• \sum_{i=1}^{n} ca_i= c\sum_{i=1}^{n}a_i`

    `•\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)` `=\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i`

    `•\sum_{i=1}^{n} (a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i -\sum_{i=1}^{n} b_i`

Contoh:

1. Misalkan `\sum_{j=1}^{50} a_j=30` dan `\sum_{j=1}^{50} b_j =15`

Hitunglah `\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)`

Penyelesaian:

`\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)  =\sum_{j=1}^{50} 3 a_j+\sum_{j=1}^{50} 5 b_j`

                                `=3 \sum_{j=1}^{50} a_j+5 \sum_{j=1}^{50} b_j`

                                `=3(30)+5(15)`

                                `=90+45`

                                `=135`

2. Misalkan `\sum_{i=1}^{30} a_i=13` dan `\sum_{i=1}^{30} b_i=25`. 

Hitunglah `\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3)`

Penyelesaian:

`\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3) =``\sum_{i=1}^{30} 7a_i -\sum_{i=1}^{30} 4b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`

                                        `=``7 \sum_{i=1}^{30} a_i - 4 \sum_{i=1}^{30} b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`

                                        `=7(13)-4(25)+30(3)`

                                        `=91-100+90`

                                        `=81`

D. BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Jumlah dari `n` bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-`n`. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:  

 `• \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}` 

 `•\sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}`

 `•\sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}]^2` 

 `•\sum_{k=1}^n k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4`

                   `=\frac{n(n+1)(6 n^3+9 n^2+n-1)}{30}`

Contoh:

1. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{15} k(k+1)`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{15} k(k+1)  =\sum_{k=1}^{15} (k^2+k)`

                           `=\sum_{k=1}^{15} k^2+\sum_{k=1}^{15} k`

                           `=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}`

                           `=\frac{15(16)(31)}{6}+\frac{15(16)}{2}`

                           `=1240+120`

                           `=1360`

 2. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{10} k^3`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{10} k^3 =[\frac{n(n+1)}{2}]^2`

             `=[\frac{10(10+1)}{2}]^2`

             `=[\frac{10.11}{2}]^2 \Rightarrow[\frac{110}{2}]^2`

             `=55^2`

             `=3025`

Catatan:

Dalam rumus:

         `\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}` atau

         `1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

Contoh:

Ekspresikan `\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2`dalam bentuk tertutup 

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2= \sum_{k=1}^{n} (4+2a+a^2)`

                         `= \sum_{k=1}^{n} 4 + 2\sum_{k=1}^{n} a + \sum_{k=1}^{n} a^2`

                         `=  4n + (2×\frac{n(n+1)}{2}) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

                         `= 4n+\frac{2n^2+2n} {2} + \frac{(n^2+n) (2n+1)}{6}`

                         `=\frac{24n}{6} + \frac {6^2+6n}{6} + \frac{2n^3 +3n^2 +n}{6}`

                            `=\frac{2n^3+9n^2 +31n}{6}`

                        `=\frac{1}{3} n^3 +\frac{3}{2}n^2 +\frac{31}{6} n`

Sekian materi singkat mengenai notasi sigma, semoga teman-teman paham yaa.

Read More

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Halo teman-teman,

Setelah mempelajari mengenai Integral fungsi rasional linear. Pada artikel ini kita akan belajar mengenai integral fungsi rasional kuadrat dan integral fungsi rasional yang memuat sin dan cos. 

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadran atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan `n` parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{a x+b}+\frac{B x+C}{p x^2+q x+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat 

Berikut contoh soal mengenai Integral fungsi rasional  kuadrat 

Contoh: 

1. `frac{2 x^2-3 x-36}{( 2 x-1)(x^2+9)} d x`

Karena termasuk integran fungsi sejati, maka:

`\int \frac{2 x^2-3 x-36}{(2 x-1)(x^2+9)} dx =\int \frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B x+C}{(x^2+9)} d x` 

                      `=\int \frac{A(x^2+9)+B x+C(2 x-1)}{(2 x-1)(x^2+9)} dx`

                      `=\int \frac{Ax^2+9A+2Bx^2-Bx+2Cx-C }{(2 x-1)(x^2+9)} dx`

                      `=\int \frac{(A+2B)x^2+(-B+2C)x+(9A-C)} {(2 x-1)(x^2+9)} dx`

Diperoleh `A+2B=2,-B+2C=-3, 9A-C=-36` maka `A=-4, B=3, C=0`

Sehingga diperoleh:

`\int 2x^2-3x-36 =\int \frac{-4}{2 x-1}+\frac{3 x+0}{x^2+9} d x`

                                `=\int \frac{-4}{2 x-1} d x+\int \frac{3 x}{x^2+9} d x`

                                `=-2 \ln |2 x-1|+\frac{3}{2} ln|x^2+9|+c`

2. `\int \frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2} d x`

integran merupakan Fungsi rasional Sejati maka:

`\int \frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2} d x=\int \frac{x^3+x^2+x+2}{(x^2+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{(x+D)}{(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{(1+x+B)(x^2+2)+(C x+D)(x^2+1)}{(x+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{A x^3+2 A x+B x^2+2 B+x^3+Cx+D x^2+D} {(x+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{(A+C) x^3+(B+D) x^2+(2 A+C) x+(2 B+D)}{(x+1)(x^2+2)} d x`

Diperoleh:

`A+C  =1, B+D=1,2 A+C=1,2 B+D=2`  maka `A=0, B=1, C=1,D=0`

Sehingga diperoleh:

`\int \frac{3 x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+2} d x`

                                        `=\int \frac{1}{x^2+1} d x+\int \frac{x}{x^2+2} d x`

                                        `=\arctan x+\frac{1}{2} ln|x^2+2|+C`

 

Integral Fungsi Rasional yang Memuat `sin x` dan `cosx`

Fungsi `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) ≠ 0`, `f(x)` dan `g(x)` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan ~`f(x)=sin x` dan `f(x)=cos x` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat `f(x)=sin x` atau `f(x)=cos x`

1. `F(x)=\frac{1-sin x}{cos x}`

2. `F(x)=\frac{1+sin x+cos x}{sin x}`

3. `F(x)=\frac{5 sin x+2}{cos x}`

4. `F(x)=\frac{1}{1+sinx-cos x}`

5. `F(x)=\frac{2}{1+sin x-cos x}`

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. `\int \frac{d x}{1+sin x-cos x}`

2. `\int \frac{d x}{2+cos x}`

3. `\int \frac{d x}{1+sin x}+cos x`

4. `\int \frac{1+2 sin x+cos x}{sin x} d x`

5. `\int \frac{1}{3-2 sin x} d x`

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

          `x=2 \arctan z` sehingga `dx=\frac{2}{1+z^2} dz`.

Selanjutnya `sin x` dan `cos x` disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena `x=2 \arctan z` maka:

         `\Leftrightarrow \tan (\frac{x}{2})=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

       `1+\tan ^2(\frac{x}{2})=\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)`

       `\Leftrightarrow 1+z^2=\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)`

       `\Leftrightarrow \cos ^2(\frac{x}{2})=\frac{1}{1+z^2}`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

        `sin ^2 x+\cos ^2 x=1`

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2}\right)+\cos ^2(\frac{x}{2})=1`, sehingga didapat

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2})=1-\frac{1}{1+z^2}`

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2})=\frac{z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

        `\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x`

        `\Leftrightarrow \cos x=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2(\frac{x}{2})`

        `\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{1+z^2}-\frac{z^2}{1+z^2}`

        `\Leftrightarrow \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

        `\sin 2 x=2 \sin x \cos x`

        `\Leftrightarrow \sin x=2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)`

        `\Leftrightarrow \sin x=2 \sqrt{\frac{z^2}{1+z^2}} \sqrt{\frac{1}{1+z^2}}`

        `\Leftrightarrow \sin x=\frac{2 z}{1+z^2}`

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi yaitu:

`x=2 \arctan z`, `\sin x=\frac{2 z}{1+z^2}, \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Untuk lebih jelasnya yukk teman-teman perhatian contoh soalnya.

1. `\int \frac{d x}{2+5 \sin x+\cos x}`

Penyelesaian:

`\int \frac{d x}{1+5 \sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{1+5 \cdot \frac{2 z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{1+z^2}{1+z^2}+5 \cdot \frac{2 z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{1+z^2+10 z+1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{2+10z}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{2 d z}{2+10 z}`

                                     `=\int \frac{d z}{1+5 z}`

                                     `=\frac{1}{5} In|1+5 z|+C`

                                     `=\frac{1}{5}In|1+5 tan \frac{x}{2}|+C`

2. `\int \frac{d x}{4+5 \sin x}`

Penyelesaian:

`\int \frac{d x}{4+5 \sin x}=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{4+5 \frac{2 z}{1+z^2}}`

                          `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{4+4 z^2+10 z}{1+z^2}}`

                          `=\int \frac{2 d z}{4+4 z^2+10 z}`

                          `=\int \frac{2 d z}{2(z+2)\left(2 z +1\right)}`

                          `=\int \frac{1 d z }{(z+2)(2 z+1)} d z`

                          `=\int \frac{A}{2 z+2}+\frac{B}{2 z+1} d z`

                          `=\int \frac{A(2 z+1)+B(z+2)}{(2 z+2)(2 z+1)} d z`

                          `=\int \frac{2 A z+A+B z+2 B}{(2 z+2)(2 z+1)} d z` 

                          `=\int \frac{(2 A+B) z+(A+2 B)}{(2 z+2)(2 z+1)} d z`

Diperoleh:

          `2A+B=0, A+2B=1` maka `A=\frac {-1} {3}, B=\frac{2} {3}`

Sehingga:

`\int \frac{dx}{4+5sinx} =\int \frac{\frac{-1}{3}}{z+2}+ \frac{\frac{2}{3}}{2z+1} dz`

                          `=\int - \frac{1}{3(z+2)}+\frac{2}{3(2z+1} dz`

                          `=\int -\frac{1}{3(z+2)} dz + \int \frac{2}{3(2z+1)} dz`

                          `=-\frac{1}{3} In |z+2| +\frac{1}{3} In|2z+1| + C`

Sekian materi dari materi integral fungsi rasional kuadrat dan integral fungsi rasional yang memuat sin dan cos, semoga teman -teman paham materi nya yaa.

Read More

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas materi mengenai integral fungsi rasional linear

A. Definisi

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)≠0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_n x^n, n=1,2,3,...` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

B. Pembagian Fungsi Rasional 

~ Fungsi rasional sejati : Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih kecil daripada derajat polinom penyebut `g(x)`.

~ Fungsi rasional tidak sejati: Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih besar atau sama dengan  derajat polinom penyebut `g(x)`.

Contoh:

     1. `F(x)= \frac{x+1}{x^2 -2x+1}` (Fungsi Rasional Sejati)

     2. `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

    3. `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

     `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

               `=x^2-3 + \frac{(14x+1)}{(x^3+5x)}`

     `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)≠0`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk     fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:

`•` Fungsi linear berbeda,
`g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dstnya
`•` Fungsi linear berulang,
`g(x)=(x-a)^n  =(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`
`•` Fungsi linear dan kuadrat,
`g(x)= (x-a)(ax^2 +bx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berbeda,
`g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berulang,
`g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya

Misal:
`•` Penyebut kombinasi linear berbeda
. `\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+ \frac{A_2}{(ax_2+b_2)}+...`
`•` Kombinasi linear berulang
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax+b)}+ \frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \frac{A_3}{(ax+b)^3}`+...
`•` Kombinasi kuadrat berbeda
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1x+B_1}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+ \frac{A_2x+B_2}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+...`

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_1, A_2,...,A_n` dan `B_1, B_2,...,B_n`

Contoh soal:

1.  `\int \frac{16}{x^2 -16} dx` `=\int \frac{16}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-4} dx`

                               `=\int \frac{A(x-4)+B(x+4)}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{(Ax-4A)(Bx+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{(A+B)x+(-4A+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`

Sehingga diperoleh:

     `A+B= 0`

     `-4A+4B = 16`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai

`A= -2` dan `B= 2`

Jadi, `\int \frac{16}{x^2 -16} dx``=\int  \frac{-2}{x+4}+ \frac{2}{x-4} dx`

                                   `=\int \frac{-2}{x+4} dx + \int \frac{2}{x-4} dx`

                                   `= -2 In |x+4| + 2 In |x-4| +C`

2. `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}`

`\int \frac{3x-13}{(x+5)(x-2)}dx = \int \frac{A}{(x+5)}+\frac{B}{(x-2)}  dx`

                                        `=\int\frac{A(x-2)+B(x+5)}{(x+5)(x-2)}` dx 

                                        `= \int\frac{(Ax-2A)+(Bx+5B)}{(x+5)(x-2)} dx`

                                        `=\int \frac{(A+B)x+(-2A+5B)}{(x+5)(x-3)} dx`

Sehingga diperoleh:

       `A+B=3`

       `-2A+5B=-13`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai `A=4` dan `B= -1`

Jadi, `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}= \int frac{4}{x+5} - \frac{1}{x-2} dx`

                                         `=\int \frac{4}{x+5} dx- \int \frac{1}{x-2} dx` 

                                         `= 4 In|x+5|- In |x-2| +C`

3. Tentukan  `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx`

Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom sama dengan pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:

`\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= \int  1+ \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

                                  `=\int 1 dx + \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

                                  `=x+C+ \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx``=\int \frac{5x+4}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} dx`

                                  `=\int \frac{A(x-4) +B (x+2)}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac {(Ax-4A)+(Bx+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac {(A+B)x + (-4A+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`

Sehingga diperoleh:

     `A+B=  5`

      `-4A+2B=4`, maka dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi diperoleh `A=1` dan `B=4`

`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx` `= \int \frac {1}{x+2} +\frac{4}{x-4} dx`

                                   `=\int \frac {1}{x+2} dx` `+ \int \frac{4}{x-4} dx`

                                   `= In |x+2| + 4 In |x-4|+C`

Jadi, `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= x+In |x+2| +4 In|x-4|+C`

4.  Tentukan `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

Karena integran diatas bukan  fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom  lebih besar dari pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:

 `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

`=\int 2x-1 -\frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`=\int 2x dx-\int 1 dx -` `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`= x^2-x +C - \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`\int\frac{-2x-8}{(x+2)(x-2)} = \int \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-2)} dx`

                                   `=\int \frac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)} dx`

                                   `=\int \frac{(Ax-2A)(Bx+2B)} {(x+2)(x-2)} dx`

                                   `=\int \frac{(A+B)x +(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)} dx`

Sehingga diperoleh:

      `A+B= -2`

     ` -2A+2B= -8`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai  `A= 1` dan `B= -3`

`\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx``= \int \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} dx`

                        `= \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{3}{x-2} dx`

                        `= In |x+2|- 3 In|x-2|+C`

Jadi, `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

`= x^2 -x +In |x+2|- 3 In|x-2|+C`

Sekian materi mengenai integral fungsi rasional linear, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More

INTEGRAL TAK TENTU - INTEGRAL PARSIAL

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai metode parsial pada integral tak tentu. 

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana `u = f(x)` dan `v = g(x).` Karena `y = u.v`, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi  `y = uv` diperoleh:

`dy=d(uv)`

`d(uv)=udv+vdu`

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:

`\int d(uv)=\int udv+\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=\int d(uv)-\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=uv-\int vdu`

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integral yang berbentuk `uv` di manipulasi menjadi `u dv` dan dalam menentukan `udv` tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan `int` tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1.  Tentukan `\int 3x e^{2x} dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u=3x, du= 3` 

                  `dv=e^{2x} dx , v= \int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int 3x e^{2x} dx= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. d(3x)`

                   `= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. 3` `dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{2}\int e^{2x}dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} . \frac{e^{2x}}{2}  +C`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x}  +C`

2.  Tentukan `\int x cos 2x` `dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= x, du= 1 dx`

                 `dv= cos 2x, v= \int cos 2x``dx=  \frac{sin 2x}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int x cos 2x= x.\frac{sin 2x}{2} - \int \frac{sin 2x}{2} dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} - \frac{1}{2} \int sin 2x` `dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{1}{2}\frac{cos 2x}{2}+C`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{cos 2x}{4}+C`

3. Tentukan `\int x \sqrt{x+2}``dx`

Penyelesaian:

Misalnya: `u=x, du= 1 dx`

                   `dv= \sqrt{x+2} dx, v= \int \sqrt{x+2}= \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`int x \sqrt{x+2}``dx= x.\frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} dx`

                         ` = \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{3} \frac{(x+2)^{\frac{5}{2}}}{frac{5}{2}}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{5}{2}}- \frac{2}{3}.\frac{2}{5}(x+2)^ \frac{5}{2}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3} {2}}- \frac{4}{15}(x+2)^{\frac{5}{2}+C`

                         

Sekian materi mengenai integral parsial, semoga teman-teman semakin paham yaa. 

                   

Read More

INTEGRAL SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Halo teman-teman,

Setelah pembahasan mengenai integral fungsi trigonometri , pada artikel ini kita akan membahas mengenai teknik substitusi pada integral fungsi trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk 

`•\sqrt{a^2-x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2-a^2}, a>0, a` € Real

Atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya:

•`\sqrt{a^2-b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2-x^2}`
•`\sqrt{a^2+b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2+x^2}`
•`\sqrt{a^2 x^2 - b^2}=\sqrt{(x^2-\frac{b}{a})^2}` atau `\int \sqrt{ax^2+bx+c}` dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integrannya diantaranya:

1. `\sqrt{a^2-x^2}` gunakan substitusi

     `x=a sin t` atau `sin t=\frac{x}{a}`

     `x=a sin t``\Leftrightarrow dx= a cos t``dt`

     Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:

     `\sqrt{a^2 -x^2}= \sqrt{a^2-(a sin t)^2}`

                         `= \sqrt{a^2(1-sin^2 t)}`

                         `= a cos t`

2.  `\sqrt{a^2+x^2}` gunakan substitusi

     `x=a tan t` atau `tan t=\frac{x}{a}`

     `x=a tan t``\Leftrightarrow dx= a sec^2 t``dt`

     Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:

     `\sqrt{a^2 +x^2}= \sqrt{a^2+(a tan t)^2}`

                         `= \sqrt{a^2(1-tan^2 t)}`

                         `= a sec t`

3.  `\sqrt{x^2-a^2}` gunakan substitusi

     `x=a sec t` atau `sec t=\frac{x}{a}`

     `x=a sec t``\Leftrightarrow dx= a sec t tan t``dt`

     Dengan `0≤t<\frac{π}{2};(x≥a)` dan`\frac{π}{2}≤t≤π; (x≤a)` sehingga:

     `\sqrt{x^2 +a^2}= \sqrt{(a sec t)^2 a^2}`

                         `= \sqrt{a^2sin^2 t-a^2)}`

                         `= a tan t`

Catatan:

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu `cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t`.Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh soal:

1. Tentukan `int \sqrt{16-x^2}`

Penyelesaian:

Substitusikan `x= 4 sin t \Rightarrow sin t =\frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow dx= 4 cos t``dt`

`\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-16sin^2 t}`

                    `=\sqrt{16(1-sin^2 t)}`

                    `=4 cos t`

Sehingga:

`int \sqrt{16-x^2}dx``= \int 4 cos t(4 cos t dt)`

              `=16\int cos t.cos t` `dt`

              `= 16 \int cos^2 t dt`

              `=16 \int \frac{1+cos 2t}{2}dt`

              `=8 \int(1+cos 2t)dt`

              `= 8\int dt + 8\int cos 2t` `dt`

              `=8t + 4 sin 2t +C`

              `= 8t+8 Sin t cos t +C`

              `= 8 arcsin \frac{x}{4}+ 8(\frac{x}{4})(\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}) +C`

              `= 8 arcsin \frac{x}{4}+(\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2})+C`

 

2. Tentukan `\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

Penyelesaian:

`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

Substitusikan`x= 4 tan \Rightarrow tan t= \frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow d(x)= 4 sec^2 t` `dt`

`\sqrt {16+x^2}=\sqrt{16 + (4 tan t )^2}`

                    `=\sqrt{16 (1+ tan^2 t)}`

                    `=4sec t`

Sehingga`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

           `= \int \frac{4sec^2 t dt}{4 sec t}`C`

           `=\int sec t` `dt`

           `=In | sec t+tan t| +C`

           `=In|\frac{\sqrt{16+x^2}}{4}+\frac{x}{4}|+C`

3. Tentukan `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`

Penyelesaian:

Substitusikan `x=5 sec t \Rightarrow sec t =\frac{x}{5}`

`\Leftrightarrow dx= 5 sec t tan t` `dt`

`\sqrt{x^2- 25} = \sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`

                    `=\sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`

                    `= \sqrt{5 tan t}`

Sehingga: `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`

                `=\int \frac{5tan t}{5 sec t}  (5sec t tan t dt)`

                `=\int \frac{25 sec t tan t+ tan^2 t}{5 sec t} dt`

                `= 5\int tan^2 t` `dt`

                `= 5 \int (sec^2 t-1) dt`

                `= 5 tan t -5t+c`

                `= 5 \frac{\sqrt{x^2-25}}{5}-5 arcsec \frac{x}{5} +C`

Sekian materi pada artikel ini, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More