INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Halo teman-teman,

Setelah mempelajari mengenai Integral fungsi rasional linear. Pada artikel ini kita akan belajar mengenai integral fungsi rasional kuadrat dan integral fungsi rasional yang memuat sin dan cos. 

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadran atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan `n` parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{a x+b}+\frac{B x+C}{p x^2+q x+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat 

Berikut contoh soal mengenai Integral fungsi rasional  kuadrat 

Contoh: 

1. `frac{2 x^2-3 x-36}{( 2 x-1)(x^2+9)} d x`

Karena termasuk integran fungsi sejati, maka:

`\int \frac{2 x^2-3 x-36}{(2 x-1)(x^2+9)} dx =\int \frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B x+C}{(x^2+9)} d x` 

                      `=\int \frac{A(x^2+9)+B x+C(2 x-1)}{(2 x-1)(x^2+9)} dx`

                      `=\int \frac{Ax^2+9A+2Bx^2-Bx+2Cx-C }{(2 x-1)(x^2+9)} dx`

                      `=\int \frac{(A+2B)x^2+(-B+2C)x+(9A-C)} {(2 x-1)(x^2+9)} dx`

Diperoleh `A+2B=2,-B+2C=-3, 9A-C=-36` maka `A=-4, B=3, C=0`

Sehingga diperoleh:

`\int 2x^2-3x-36 =\int \frac{-4}{2 x-1}+\frac{3 x+0}{x^2+9} d x`

                                `=\int \frac{-4}{2 x-1} d x+\int \frac{3 x}{x^2+9} d x`

                                `=-2 \ln |2 x-1|+\frac{3}{2} ln|x^2+9|+c`

2. `\int \frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2} d x`

integran merupakan Fungsi rasional Sejati maka:

`\int \frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2} d x=\int \frac{x^3+x^2+x+2}{(x^2+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{(x+D)}{(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{(1+x+B)(x^2+2)+(C x+D)(x^2+1)}{(x+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{A x^3+2 A x+B x^2+2 B+x^3+Cx+D x^2+D} {(x+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{(A+C) x^3+(B+D) x^2+(2 A+C) x+(2 B+D)}{(x+1)(x^2+2)} d x`

Diperoleh:

`A+C  =1, B+D=1,2 A+C=1,2 B+D=2`  maka `A=0, B=1, C=1,D=0`

Sehingga diperoleh:

`\int \frac{3 x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+2} d x`

                                        `=\int \frac{1}{x^2+1} d x+\int \frac{x}{x^2+2} d x`

                                        `=\arctan x+\frac{1}{2} ln|x^2+2|+C`

 

Integral Fungsi Rasional yang Memuat `sin x` dan `cosx`

Fungsi `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) ≠ 0`, `f(x)` dan `g(x)` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan ~`f(x)=sin x` dan `f(x)=cos x` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat `f(x)=sin x` atau `f(x)=cos x`

1. `F(x)=\frac{1-sin x}{cos x}`

2. `F(x)=\frac{1+sin x+cos x}{sin x}`

3. `F(x)=\frac{5 sin x+2}{cos x}`

4. `F(x)=\frac{1}{1+sinx-cos x}`

5. `F(x)=\frac{2}{1+sin x-cos x}`

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. `\int \frac{d x}{1+sin x-cos x}`

2. `\int \frac{d x}{2+cos x}`

3. `\int \frac{d x}{1+sin x}+cos x`

4. `\int \frac{1+2 sin x+cos x}{sin x} d x`

5. `\int \frac{1}{3-2 sin x} d x`

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

          `x=2 \arctan z` sehingga `dx=\frac{2}{1+z^2} dz`.

Selanjutnya `sin x` dan `cos x` disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena `x=2 \arctan z` maka:

         `\Leftrightarrow \tan (\frac{x}{2})=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

       `1+\tan ^2(\frac{x}{2})=\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)`

       `\Leftrightarrow 1+z^2=\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)`

       `\Leftrightarrow \cos ^2(\frac{x}{2})=\frac{1}{1+z^2}`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

        `sin ^2 x+\cos ^2 x=1`

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2}\right)+\cos ^2(\frac{x}{2})=1`, sehingga didapat

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2})=1-\frac{1}{1+z^2}`

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2})=\frac{z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

        `\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x`

        `\Leftrightarrow \cos x=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2(\frac{x}{2})`

        `\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{1+z^2}-\frac{z^2}{1+z^2}`

        `\Leftrightarrow \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

        `\sin 2 x=2 \sin x \cos x`

        `\Leftrightarrow \sin x=2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)`

        `\Leftrightarrow \sin x=2 \sqrt{\frac{z^2}{1+z^2}} \sqrt{\frac{1}{1+z^2}}`

        `\Leftrightarrow \sin x=\frac{2 z}{1+z^2}`

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi yaitu:

`x=2 \arctan z`, `\sin x=\frac{2 z}{1+z^2}, \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Untuk lebih jelasnya yukk teman-teman perhatian contoh soalnya.

1. `\int \frac{d x}{2+5 \sin x+\cos x}`

Penyelesaian:

`\int \frac{d x}{1+5 \sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{1+5 \cdot \frac{2 z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{1+z^2}{1+z^2}+5 \cdot \frac{2 z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{1+z^2+10 z+1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{2+10z}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{2 d z}{2+10 z}`

                                     `=\int \frac{d z}{1+5 z}`

                                     `=\frac{1}{5} In|1+5 z|+C`

                                     `=\frac{1}{5}In|1+5 tan \frac{x}{2}|+C`

2. `\int \frac{d x}{4+5 \sin x}`

Penyelesaian:

`\int \frac{d x}{4+5 \sin x}=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{4+5 \frac{2 z}{1+z^2}}`

                          `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{4+4 z^2+10 z}{1+z^2}}`

                          `=\int \frac{2 d z}{4+4 z^2+10 z}`

                          `=\int \frac{2 d z}{2(z+2)\left(2 z +1\right)}`

                          `=\int \frac{1 d z }{(z+2)(2 z+1)} d z`

                          `=\int \frac{A}{2 z+2}+\frac{B}{2 z+1} d z`

                          `=\int \frac{A(2 z+1)+B(z+2)}{(2 z+2)(2 z+1)} d z`

                          `=\int \frac{2 A z+A+B z+2 B}{(2 z+2)(2 z+1)} d z` 

                          `=\int \frac{(2 A+B) z+(A+2 B)}{(2 z+2)(2 z+1)} d z`

Diperoleh:

          `2A+B=0, A+2B=1` maka `A=\frac {-1} {3}, B=\frac{2} {3}`

Sehingga:

`\int \frac{dx}{4+5sinx} =\int \frac{\frac{-1}{3}}{z+2}+ \frac{\frac{2}{3}}{2z+1} dz`

                          `=\int - \frac{1}{3(z+2)}+\frac{2}{3(2z+1} dz`

                          `=\int -\frac{1}{3(z+2)} dz + \int \frac{2}{3(2z+1)} dz`

                          `=-\frac{1}{3} In |z+2| +\frac{1}{3} In|2z+1| + C`

Sekian materi dari materi integral fungsi rasional kuadrat dan integral fungsi rasional yang memuat sin dan cos, semoga teman -teman paham materi nya yaa.