Halo teman-teman,
Pada artikel ini kita akan membahas materi mengenai integral fungsi rasional linear
A. Definisi
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)≠0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_n x^n, n=1,2,3,...` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.
B. Pembagian Fungsi Rasional
~ Fungsi rasional sejati : Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih kecil daripada derajat polinom penyebut `g(x)`.
~ Fungsi rasional tidak sejati: Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih besar atau sama dengan derajat polinom penyebut `g(x)`.
Contoh:
1. `F(x)= \frac{x+1}{x^2 -2x+1}` (Fungsi Rasional Sejati)
2. `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
`F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`
`=x^2-3 + \frac{(14x+1)}{(x^3+5x)}`
`F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)≠0`
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:
`•` Fungsi linear berbeda,
`g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dstnya
`•` Fungsi linear berulang,
`g(x)=(x-a)^n =(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`
`•` Fungsi linear dan kuadrat,
`g(x)= (x-a)(ax^2 +bx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berbeda,
`g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berulang,
`g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya
Misal:
`•` Penyebut kombinasi linear berbeda
. `\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+ \frac{A_2}{(ax_2+b_2)}+...`
`•` Kombinasi linear berulang
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax+b)}+ \frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \frac{A_3}{(ax+b)^3}`+...
`•` Kombinasi kuadrat berbeda
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1x+B_1}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+ \frac{A_2x+B_2}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+...`
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_1, A_2,...,A_n` dan `B_1, B_2,...,B_n`
Contoh soal:
1. `\int \frac{16}{x^2 -16} dx` `=\int \frac{16}{(x+4)(x-4)} dx`
`=\int \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-4} dx`
`=\int \frac{A(x-4)+B(x+4)}{(x+4)(x-4)} dx`
`=\int \frac{(Ax-4A)(Bx+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`
`=\int \frac{(A+B)x+(-4A+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`
Sehingga diperoleh:
`A+B= 0`
`-4A+4B = 16`, maka dengan proses eliminasi dan substitusi diperoleh nilai
`A= -2` dan `B= 2`
Jadi, `\int \frac{16}{x^2 -16} dx``=\int \frac{-2}{x+4}+ \frac{2}{x-4} dx`
`=\int \frac{-2}{x+4} dx + \int \frac{2}{x-4} dx`
`= -2 In |x+4| + 2 In |x-4| +C`
2. `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}`
`\int \frac{3x-13}{(x+5)(x-2)}dx = \int \frac{A}{(x+5)}+\frac{B}{(x-2)} dx`
`=\int\frac{A(x-2)+B(x+5)}{(x+5)(x-2)}` dx
`= \int\frac{(Ax-2A)+(Bx+5B)}{(x+5)(x-2)} dx`
`=\int \frac{(A+B)x+(-2A+5B)}{(x+5)(x-3)} dx`
Sehingga diperoleh:
`A+B=3`
`-2A+5B=-13`, maka dengan proses eliminasi dan substitusi diperoleh nilai `A=4` dan `B= -1`
Jadi, `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}= \int frac{4}{x+5} - \frac{1}{x-2} dx`
`=\int \frac{4}{x+5} dx- \int \frac{1}{x-2} dx`
`= 4 In|x+5|- In |x-2| +C`
3. Tentukan `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx`
Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom sama dengan pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:
`\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= \int 1+ \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`
`=\int 1 dx + \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`
`=x+C+ \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`
Selanjutnya dicari `\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`
`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx``=\int \frac{5x+4}{(x+2)(x-4)} dx`
`=\int \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} dx`
`=\int \frac{A(x-4) +B (x+2)}{(x+2)(x-4)} dx`
`=\int \frac {(Ax-4A)+(Bx+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`
`=\int \frac {(A+B)x + (-4A+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`
Sehingga diperoleh:
`A+B= 5`
`-4A+2B=4`, maka dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi diperoleh `A=1` dan `B=4`
`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx` `= \int \frac {1}{x+2} +\frac{4}{x-4} dx`
`=\int \frac {1}{x+2} dx` `+ \int \frac{4}{x-4} dx`
`= In |x+2| + 4 In |x-4|+C`
Jadi, `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= x+In |x+2| +4 In|x-4|+C`
4. Tentukan `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`
Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom lebih besar dari pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:
`\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`
`=\int 2x-1 -\frac{2x-8}{x^2-4} dx`
`=\int 2x dx-\int 1 dx -` `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`
`= x^2-x +C - \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`
Selanjutnya dicari `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`
`\int\frac{-2x-8}{(x+2)(x-2)} = \int \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-2)} dx`
`=\int \frac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)} dx`
`=\int \frac{(Ax-2A)(Bx+2B)} {(x+2)(x-2)} dx`
`=\int \frac{(A+B)x +(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)} dx`
Sehingga diperoleh:
`A+B= -2`
` -2A+2B= -8`, maka dengan proses eliminasi dan substitusi diperoleh nilai `A= 1` dan `B= -3`
`\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx``= \int \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} dx`
`= \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{3}{x-2} dx`
`= In |x+2|- 3 In|x-2|+C`
Jadi, `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`
`= x^2 -x +In |x+2|- 3 In|x-2|+C`
Sekian materi mengenai integral fungsi rasional linear, semoga teman-teman semakin paham yaaa.
