INTEGRAL TENTU - TEOREMA DASAR KALKULUS

 

Halo guys, Assalamualaikum.

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu -teorema dasar kalkulus, yuk simak materinya.

A. Teorema Dasar Kalkulus

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkuklus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan f fungsi kontinyu pada selang `[a,b]` dan andaikan f fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

`\int_{a}^{b} f(x) dx= F(b)-F(a)`

Contoh:

1. `\int_{-4}^{-1} 5` `dx`

Jawab:

`\int_{-4}^{-1} 5` `dx=  [5x]_{-4}^{-1}`

                   `=5(-1)-5(-4)`

                   `=15`

2. `\int_{2}^{3} x^5` `dx`

Jawab:

`\int_{2}^{3} x^5` `dx= [1/6 x^6]_{2}^{3}`

                  `=1/6 (3^6-2^6)`

                  `=1/6 (729-64)`

                  `=1/6 (665)`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Jika f kontinu pada selang [a,b] dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka:

`d/dx(\int_{a}^{x}f(t) dt)=f(x)`

Contoh:

1. `d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)`

Penyelesaian:

  `d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)= d/dx [3/2 t^2+2t]_{2}^{x^2}`

                           `= d/dx ((3/2 (x^2)^2 +2x^2)- (3/2 (2)^2 + 2.2))`

                           `=d/dx(3/2 x^4 +2x^2-10)`

                           `= 6x^3 +4x`

B. Rumus - Rumus Integral Tentu 

Jika f dan g fungsi terintegralkan pada selang [a,b] dan k konstanta, maka:

`(1) \int_{a}^{b} k` `f(x)dx = k\int_{a}^{b} f(x) dx`
`(2)\int_{a}^{b} (f(x)+g(x)) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+ \int_{a}^{b} g(x) dx `
`(3)\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx= \int_{a}^{b} f(x) dx-\int_{a}^{b} g(x) dx`
`(4)\int_{a}^{b} f(x)dx= -\int_{a}^{b} f(x) dx, a>b`
`(5) \int_{a}^{c}f(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{b}^{c} f(x) dx, ab` `€[a,c]`

Contoh:

1. `\int_{2}^{3} 4x^3 dx`

Penyelesaian:

`\int_{2}^{3} 4x^3 dx=4 \int_{2}^{3} x^3 dx`

                     `=[4×1/4x^4]_{2}^{3}`

                     `=(4 ×1/4 3^4)- (4 ×1/4 2^4 )`

                     `=4((3^4-2^4)/4)`

                     `=4((65)/4)`

                     `=65`

2. `\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx`

Penyelesaian: 

`\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx= \int_{3}^{5} 8x^3` `dx+\int_{3}^{5} 3x``dx`

                         `=[2x^4]_{3}^{5}+[(3x^2)/2]_{3}^{5}`

                         `=(2.5^4-2.3^4)+(3.5^2-3.3^2)/2`

                         `= 2(5^4-3^4)+3((5^2-3^2)/2)`

                         `=1088+24`

                         `=1112`

               

3. `\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx`

Penyelesaian:

 `\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx= \int_{1}^{3} 2x^3` `dx -\int_{1}^{3} 5x` `dx-\int_{1}^{3}3` `dx`

                          `=[(x^4)/2]_{1}^{3}-[(5x^2)/2]_{1}^{3}-[3x]_{1}^{3}`

                          `=(3^4-1^4)/2-(5.3^2-5.1^2)/2-(3.3-3.1)`

                          `=(40-20-6)`

                          `=14`

 

4. `int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx`

Penyelesaian:

`\int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx=-int_{4}^{9} x^{-1/2}` `dx`

                      `=-[2x^{1/2}]_{4}^{9}`

                      `=-[2\sqrt{x}]_{4}^{9}`

                      `=-(2 sqrt{9}-2sqrt{4})`

                      `=-(6-4)`

                      `=-2`

C. Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap `f(-x)=f(x)`, dan ganjil jika `f(-x)=-f(x)`. Untuk fungsi demikian berlaku:

`(1) \int_{-a}^{a} f(x) dx= 2 \int_{0}^{a} f(x)dx`, jika f fungsi genap

`(2)\int_{-a}^{a} f(x) dx=0`, jika f fungsi ganjil

Contoh:
Hitunglah `\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx`

Penyelesaian:

`\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx`

`f(x)= (x^5)/(x^2+4)`

`f(-x)= ((-x)^5)/((-x)^2+4)= -x^5/(x^2+4) =-f(x)`

Karena `f(-x)=-f(x)`, maka `f(x)=-x^5/(x^2+4)` adalah fungsi ganjil, sehingga:

    `\int_{-5}^{5} (x^5)/x^2+4 dx=0`

b. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikiaan sehingga `f(x + p) = f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka:

`\int_{a+p}^{b+p} f(x) dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) dx`

Contoh:

Hitunglah `\int_{0}^{2π} |sin x| dx`

Penyelesaian:

Karena `f(x)=|sin x|` fungsi periodik dengan periode `π`, maka:

`\int_{0}^{2π} |sin x| dx= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{π}^{2π} |sin x| dx`

                           `= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0+π}^{π+π} |sin x| dx` 

                           `= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0}^{π} |sin x| dx`  

                           `=2 \int_{0}^{π} |sinx| dx`

                           `= 2\int_{0}^{π} sinx dx`

                           `= 2[-cosx]_{0}^{π}`

                           `= 2(-cosπ-(-cos 0))`

                           `= 2(-(1)-(-1))`

                           `=4`

   

c. Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

Jika f fungsi kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_{a}^{b} f(x) dx=f(c)-f(b-a)`

Contoh:
Carilah nilai c sedemikian sehingga `\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)` jika `f(x)=x^2`

Penyelesaian:

`\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx`

                   `=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}`

                   `=27/3 -1/3`

                   `=26/3`

`\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`

`\frac{26}{3}=c^{2}(2)`

`c^2=26/6`

`c=±\sqrt{26/6}`

`c=±\sqrt{13/3}`

`c=±\sqrt{39/6}`

Untuk `c` `-\sqrt{39/6} ` tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang [1,3] jadi `c=\sqrt{39/6}.`

Sekian materi mengenai materi integral tentu-teorema dasar kalkulus, semoga teman-teman semakin paham yaa:')