Halo guys, Assalamualaikum.
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu -teorema dasar kalkulus, yuk simak materinya.
A. Teorema Dasar Kalkulus
Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkuklus dan harus diingat secara permanen.
Andaikan f fungsi kontinyu pada selang [a,b] dan andaikan f fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)
Contoh:
1. ∫-1-45 dx
Jawab:
∫-1-45 dx=
=5(-1)-5(-4)
=15
2. \int_{2}^{3} x^5 dx
Jawab:
\int_{2}^{3} x^5 dx= [1/6 x^6]_{2}^{3}
=1/6 (3^6-2^6)
=1/6 (729-64)
=1/6 (665)
Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:
Jika f kontinu pada selang [a,b] dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam [a,b],
maka:
Contoh:d/dx(\int_{a}^{x}f(t) dt)=f(x)
1. d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)
Penyelesaian:
d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)= d/dx [3/2 t^2+2t]_{2}^{x^2}
= d/dx ((3/2 (x^2)^2 +2x^2)- (3/2 (2)^2 + 2.2))
=d/dx(3/2 x^4 +2x^2-10)
= 6x^3 +4x
B. Rumus - Rumus Integral Tentu
Jika f dan g fungsi terintegralkan pada selang [a,b] dan k konstanta, maka:
(1) \int_{a}^{b} k f(x)dx = k\int_{a}^{b} f(x) dx
(2)\int_{a}^{b} (f(x)+g(x)) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+ \int_{a}^{b} g(x) dx
(3)\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx= \int_{a}^{b} f(x) dx-\int_{a}^{b} g(x) dx
(4)\int_{a}^{b} f(x)dx= -\int_{a}^{b} f(x) dx, a>b
(5) \int_{a}^{c}f(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{b}^{c} f(x) dx, ab €[a,c]
(2)\int_{a}^{b} (f(x)+g(x)) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+ \int_{a}^{b} g(x) dx
(3)\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx= \int_{a}^{b} f(x) dx-\int_{a}^{b} g(x) dx
(4)\int_{a}^{b} f(x)dx= -\int_{a}^{b} f(x) dx, a>b
(5) \int_{a}^{c}f(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{b}^{c} f(x) dx, ab €[a,c]
Contoh:
1. \int_{2}^{3} 4x^3 dx
Penyelesaian:
\int_{2}^{3} 4x^3 dx=4 \int_{2}^{3} x^3 dx
=[4×1/4x^4]_{2}^{3}
=(4 ×1/4 3^4)- (4 ×1/4 2^4 )
=4((3^4-2^4)/4)
=4((65)/4)
=65
2. \int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx
Penyelesaian:
\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx= \int_{3}^{5} 8x^3 dx+\int_{3}^{5} 3xdx
=[2x^4]_{3}^{5}+[(3x^2)/2]_{3}^{5}
=(2.5^4-2.3^4)+(3.5^2-3.3^2)/2
= 2(5^4-3^4)+3((5^2-3^2)/2)
=1088+24
=1112
3. \int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx
Penyelesaian:
\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx= \int_{1}^{3} 2x^3 dx -\int_{1}^{3} 5x dx-\int_{1}^{3}3 dx
=[(x^4)/2]_{1}^{3}-[(5x^2)/2]_{1}^{3}-[3x]_{1}^{3}
=(3^4-1^4)/2-(5.3^2-5.1^2)/2-(3.3-3.1)
=(40-20-6)
=14
4. int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx
Penyelesaian:
\int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx=-int_{4}^{9} x^{-1/2} dx
=-[2x^{1/2}]_{4}^{9}
=-[2\sqrt{x}]_{4}^{9}
=-(2 sqrt{9}-2sqrt{4})
=-(6-4)
=-2
C. Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata
a. Teorema Simetri
Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap f(-x)=f(x), dan ganjil jika f(-x)=-f(x). Untuk fungsi demikian berlaku:
(1) \int_{-a}^{a} f(x) dx= 2 \int_{0}^{a} f(x)dx, jika f fungsi genap
(2)\int_{-a}^{a} f(x) dx=0, jika f fungsi ganjil
Hitunglah \int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx
Penyelesaian:
\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx
f(x)= (x^5)/(x^2+4)
f(-x)= ((-x)^5)/((-x)^2+4)= -x^5/(x^2+4) =-f(x)
Karena f(-x)=-f(x), maka f(x)=-x^5/(x^2+4) adalah fungsi ganjil, sehingga:
\int_{-5}^{5} (x^5)/x^2+4 dx=0
b. Teorema Periodik
Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikiaan sehingga f(x + p) = f(x), untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka:
\int_{a+p}^{b+p} f(x) dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) dx
Contoh:Hitunglah \int_{0}^{2π} |sin x| dx
Penyelesaian:
Karena f(x)=|sin x| fungsi periodik dengan periode π, maka:
\int_{0}^{2π} |sin x| dx= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{π}^{2π} |sin x| dx
= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0+π}^{π+π} |sin x| dx
= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0}^{π} |sin x| dx
=2 \int_{0}^{π} |sinx| dx
= 2\int_{0}^{π} sinx dx
= 2[-cosx]_{0}^{π}
= 2(-cosπ-(-cos 0))
= 2(-(1)-(-1))
=4
c. Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral
Jika f fungsi kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:
\int_{a}^{b} f(x) dx=f(c)-f(b-a)
Contoh:Carilah nilai c sedemikian sehingga \int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1) jika f(x)=x^2
Penyelesaian:
\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx
=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}
=27/3 -1/3
=26/3
\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)
\frac{26}{3}=c^{2}(2)
c^2=26/6
c=±\sqrt{26/6}
c=±\sqrt{13/3}
c=±\sqrt{39/6}
Untuk c -\sqrt{39/6} tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang [1,3] jadi c=\sqrt{39/6}.
Sekian materi mengenai materi integral tentu-teorema dasar kalkulus, semoga teman-teman semakin paham yaa:')
