Halo teman-teman,
Pada artikel ini kita akan membahas materi mengenai integral fungsi rasional linear
A. Definisi
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x)=f(x)g(x), dimana f(x),g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)≠0. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn,n=1,2,3,... sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk \frac{f(x)}{g(x)} yang pembilang dan penyebutnya polinom.
B. Pembagian Fungsi Rasional
~ Fungsi rasional sejati : Jika derajat atau pangkat polinom pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat polinom penyebut g(x).
~ Fungsi rasional tidak sejati: Jika derajat atau pangkat polinom pembilang f(x) lebih besar atau sama dengan derajat polinom penyebut g(x).
Contoh:
1. F(x)= \frac{x+1}{x^2 -2x+1} (Fungsi Rasional Sejati)
2. F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4} (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
3. F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x} (Fungsi Rasional Tidak Sejati)
Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:
F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}
=x^2-3 + \frac{(14x+1)}{(x^3+5x)}
F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)≠0
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x)=\frac{f(x)}{g(x)} sampai tidak dapat difaktorkan lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:
• Fungsi linear berbeda,
g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t) dstnya
• Fungsi linear berulang,
g(x)=(x-a)^n =(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)
• Fungsi linear dan kuadrat,
g(x)= (x-a)(ax^2 +bx+c)
• Fungsi kuadrat berbeda,
g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)
• Fungsi kuadrat berulang,
g(x)=(ax^2+bx+c)^n dan seterusnya
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga
integran dapat ditentukan antiturunannya
Misal:
• Penyebut kombinasi linear berbeda
. \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+ \frac{A_2}{(ax_2+b_2)}+...
• Kombinasi linear berulang
\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax+b)}+ \frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \frac{A_3}{(ax+b)^3}+...
• Kombinasi kuadrat berbeda
\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1x+B_1}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+ \frac{A_2x+B_2}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+...
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A_1, A_2,...,A_n dan B_1, B_2,...,B_n
Contoh soal:
1. \int \frac{16}{x^2 -16} dx =\int \frac{16}{(x+4)(x-4)} dx
=\int \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-4} dx
=\int \frac{A(x-4)+B(x+4)}{(x+4)(x-4)} dx
=\int \frac{(Ax-4A)(Bx+4B)}{(x+4)(x-4)} dx
=\int \frac{(A+B)x+(-4A+4B)}{(x+4)(x-4)} dx
Sehingga diperoleh:
A+B= 0
-4A+4B = 16, maka dengan proses eliminasi dan substitusi diperoleh nilai
A= -2 dan B= 2
Jadi, \int \frac{16}{x^2 -16} dx=\int \frac{-2}{x+4}+ \frac{2}{x-4} dx
=\int \frac{-2}{x+4} dx + \int \frac{2}{x-4} dx
= -2 In |x+4| + 2 In |x-4| +C
2. \int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}
\int \frac{3x-13}{(x+5)(x-2)}dx = \int \frac{A}{(x+5)}+\frac{B}{(x-2)} dx
=\int\frac{A(x-2)+B(x+5)}{(x+5)(x-2)} dx
= \int\frac{(Ax-2A)+(Bx+5B)}{(x+5)(x-2)} dx
=\int \frac{(A+B)x+(-2A+5B)}{(x+5)(x-3)} dx
Sehingga diperoleh:
A+B=3
-2A+5B=-13, maka dengan proses eliminasi dan substitusi diperoleh nilai A=4 dan B= -1
Jadi, \int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}= \int frac{4}{x+5} - \frac{1}{x-2} dx
=\int \frac{4}{x+5} dx- \int \frac{1}{x-2} dx
= 4 In|x+5|- In |x-2| +C
3. Tentukan \int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx
Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom sama dengan pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:
\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx= \int 1+ \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx
=\int 1 dx + \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx
=x+C+ \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx
Selanjutnya dicari \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx
\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx=\int \frac{5x+4}{(x+2)(x-4)} dx
=\int \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} dx
=\int \frac{A(x-4) +B (x+2)}{(x+2)(x-4)} dx
=\int \frac {(Ax-4A)+(Bx+2B)}{(x+2)(x-4)} dx
=\int \frac {(A+B)x + (-4A+2B)}{(x+2)(x-4)} dx
Sehingga diperoleh:
A+B= 5
-4A+2B=4, maka dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi diperoleh A=1 dan B=4
\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx = \int \frac {1}{x+2} +\frac{4}{x-4} dx
=\int \frac {1}{x+2} dx + \int \frac{4}{x-4} dx
= In |x+2| + 4 In |x-4|+C
Jadi, \int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx= x+In |x+2| +4 In|x-4|+C
4. Tentukan \int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx
Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom lebih besar dari pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:
\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx
=\int 2x-1 -\frac{2x-8}{x^2-4} dx
=\int 2x dx-\int 1 dx - \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx
= x^2-x +C - \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx
Selanjutnya dicari \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx
\int\frac{-2x-8}{(x+2)(x-2)} = \int \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-2)} dx
=\int \frac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)} dx
=\int \frac{(Ax-2A)(Bx+2B)} {(x+2)(x-2)} dx
=\int \frac{(A+B)x +(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)} dx
Sehingga diperoleh:
A+B= -2
-2A+2B= -8, maka dengan proses eliminasi dan substitusi diperoleh nilai A= 1 dan B= -3
\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx= \int \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} dx
= \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{3}{x-2} dx
= In |x+2|- 3 In|x-2|+C
Jadi, \int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx
= x^2 -x +In |x+2|- 3 In|x-2|+C
Sekian materi mengenai integral fungsi rasional linear, semoga teman-teman semakin paham yaaa.
