Halo teman-teman,
Setelah pembahasan mengenai integral fungsi trigonometri , pada artikel ini kita akan membahas mengenai teknik substitusi pada integral fungsi trigonometri
Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk
•√a2-x2,a>0,a € Real
•√x2+a2=√a2+x2,a>0,a € Real
•√x2-a2,a>0,a € Real
•√x2+a2=√a2+x2,a>0,a € Real
•√x2-a2,a>0,a € Real
Atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya:
•√a2-b2x2=√(ab)2-x2
•√a2+b2x2=√(ab)2+x2
•√a2x2-b2=√(x2-ba)2 atau ∫√ax2+bx+c dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
•√a2+b2x2=√(ab)2+x2
•√a2x2-b2=√(x2-ba)2 atau ∫√ax2+bx+c dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk integrannya diantaranya:
1. √a2-x2 gunakan substitusi
x=asint atau sint=xa
x=asint⇔dx=acostdt
Dengan -π sehingga:
\sqrt{a^2 -x^2}= \sqrt{a^2-(a sin t)^2}
= \sqrt{a^2(1-sin^2 t)}
= a cos t
2. \sqrt{a^2+x^2} gunakan substitusi
x=a tan t atau tan t=\frac{x}{a}
x=a tan t\Leftrightarrow dx= a sec^2 tdt
Dengan -\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2} sehingga:
\sqrt{a^2 +x^2}= \sqrt{a^2+(a tan t)^2}
= \sqrt{a^2(1-tan^2 t)}
= a sec t
3. \sqrt{x^2-a^2} gunakan substitusi
x=a sec t atau sec t=\frac{x}{a}
x=a sec t\Leftrightarrow dx= a sec t tan tdt
Dengan 0≤t<\frac{π}{2};(x≥a) dan\frac{π}{2}≤t≤π; (x≤a) sehingga:
\sqrt{x^2 +a^2}= \sqrt{(a sec t)^2 a^2}
= \sqrt{a^2sin^2 t-a^2)}
= a tan t
Catatan:
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t.Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.
Contoh soal:
1. Tentukan int \sqrt{16-x^2}
Penyelesaian:
Substitusikan x= 4 sin t \Rightarrow sin t =\frac{x}{4}
\Leftrightarrow dx= 4 cos tdt
\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-16sin^2 t}
=\sqrt{16(1-sin^2 t)}
=4 cos t
Sehingga:
int \sqrt{16-x^2}dx= \int 4 cos t(4 cos t dt)
=16\int cos t.cos t dt
= 16 \int cos^2 t dt
=16 \int \frac{1+cos 2t}{2}dt
=8 \int(1+cos 2t)dt
= 8\int dt + 8\int cos 2t dt
=8t + 4 sin 2t +C
= 8t+8 Sin t cos t +C
= 8 arcsin \frac{x}{4}+ 8(\frac{x}{4})(\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}) +C
= 8 arcsin \frac{x}{4}+(\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2})+C
2. Tentukan \int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}
Penyelesaian:
\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}
Substitusikanx= 4 tan \Rightarrow tan t= \frac{x}{4}
\Leftrightarrow d(x)= 4 sec^2 t dt
\sqrt {16+x^2}=\sqrt{16 + (4 tan t )^2}
=\sqrt{16 (1+ tan^2 t)}
=4sec t
Sehingga\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}
= \int \frac{4sec^2 t dt}{4 sec t}C`
=\int sec t dt
=In | sec t+tan t| +C
=In|\frac{\sqrt{16+x^2}}{4}+\frac{x}{4}|+C
3. Tentukan \int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx
Penyelesaian:
Substitusikan x=5 sec t \Rightarrow sec t =\frac{x}{5}
\Leftrightarrow dx= 5 sec t tan t dt
\sqrt{x^2- 25} = \sqrt{(5 sec t)^2 - 25}
=\sqrt{(5 sec t)^2 - 25}
= \sqrt{5 tan t}
Sehingga: \int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx
=\int \frac{5tan t}{5 sec t} (5sec t tan t dt)
=\int \frac{25 sec t tan t+ tan^2 t}{5 sec t} dt
= 5\int tan^2 t dt
= 5 \int (sec^2 t-1) dt
= 5 tan t -5t+c
= 5 \frac{\sqrt{x^2-25}}{5}-5 arcsec \frac{x}{5} +C
Sekian materi pada artikel ini, semoga teman-teman semakin paham yaaa.
