Assalamualaikum, halo guys pada artikel ini kita akan membahas mengenai salah satu dari aplikasi integral tentu yaitu materi luas daerah pada bidang datar.
Materi ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara
lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan (4) luas
permukaan.
Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal
sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam
kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasan ini adalah
menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu
kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar. Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu,
dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan
memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:
A. Luas Suatu Luasan
Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang `XOY` dengan persamaan `y =f (x)` atau `x =g( y)` atau `y = f (x), x =g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu
koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan
menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan. `y=f (x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu `-x` atau luasan dengan
persamaan `x =g( y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu`-y`.
Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.
(Gambar 1)
Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y = f (x)` dan sumbu-sumbu koordinat
yang terletak di bawah sumbu - `x` atau luasan dengan persamaan `x = g( y)` dan sumbu-sumbu
koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu - `y`. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.
(Gambar 2)
Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat
terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan `y_2 =g(x)`. Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral
untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.
1. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat
Perhatikan gambar luasan dibawah ini
(Gambar 3)
Sebagaimana terlihat pada Gambar 3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x),x=a,x=b`.
Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan
dengan
`A(R)=\int_{a}^{b} -f(x) dx`
Jika luasan terletak di bawah sumbu-`x`, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena
luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
`A(R)=\int_{a}^{b} -f(x) dx=|\int_{a}^{b} f(x) dx|`
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah
sebagai berikut:
a). Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya, sehingga tampak jelas batas - batasnya
dan mudah dilihat.
b). Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu`-x` atau sumbu`-y`, selanjutnya irislah (bagi) luasan
dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang
terbentuk.
c). Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai
sebuah persegi panjang.
d). Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah
dibentuk.
e). Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.
Contoh Soal:
1. Segitiga ABC terletak pada `XOY`, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0), dan (3,7) . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.
Jawaban:
Gambar segitiga ABC adalah:
(Gambar 6) Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus:
`(y-y_A)/(x-x_A) = (y_c-y_A)/(x_c-x_A)`
Diperoleh persamaan `(y-0)/(x-0) = (7-0)/(3-0)` `3y= 7x` atau `y= 7/3 x`
Sehingga luas yang dicari dengan `A(R)=\int_{a}^{b} f(x)` `dx`
`\Leftrightarrow \int_{0}^{3} 7/3 x dx= [7/6 x^2 ]_{0}^{3} = 7/6× 9= 10,5` satuan luas
2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y= 4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat.
Jawaban:
Luasan `y=4-x^2` yang di batasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
(Gambar 7)
Perhatikan Gambar 7 di atas luasan yang diketahui berada di atas sumbu - `x` sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:
`A(R)=\int_{a}^{b} -f(x) dx`
`\Leftrightarrow \int_{-2}^{2} (4-x^2) dx`
`\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{2} (4-x^2) dx`
`\Leftrightarrow 2 (4x-1/3 x^3)_{0}^{2}`
`\Leftrightarrow 2(4.2-1/3×2^3)- 2 (4.0-13×0^3)`
`\Leftrightarrow 2 (8-8/3) = 32/3`
3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x=y^2` dan garis `x=4`
Dengan cara yang sama luasan diatas dinyatakan dengan
`\int_{0}^{4} f(x)d(x) +\int_{0}^{4}-f(x)dx`
`\Leftrightarrow \int_{0}^{4} f(x)d(x) +\int_{0}^{4}-f(x)dx`
`\Leftrightarrow \int_{0}^{4} \sqrt{x}` `dx +\int_{0}^{4}-(-\sqrt{x}) dx`
` \Leftrightarrow 2\int_{0}^{4} \sqrt{x}` `dx`
` \Leftrightarrow 2(2/3 x^{3/2})_0^4 = 4/3×8=32/3`
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini
Luasan pada Gambar 9 di atas dibatasi oleh kurva `x = g(y), y =c,y =d`, dan `x =0`. Dengan integral tertentu luasan R yang berada disebelah kanan sumbu-`x` dinyatakan dalam bentuk
`A(R)= \int_{c}^{d} g(y) dy`
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu - `x` , maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
`A(R) =\int_{c}^{d}-g(y)dy = |\int_{c}^{d} g(y)dy|`
Contoh:
1. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x= y^2` dan garis `y=-2, y=2`
Jawaban:
Luasan `x=y^2` dan garis `y=-2,y=2` dapat digambarkan sebagai berikut:
Sehingga luas luasan tersebut adalah
`A(R)= int_{c}^{d} g(y)dy`
`\Leftrightarrow int_{-2}^{2} y^2 dy`
`\Leftrightarrow int_{0}^{2} y^2dy`
`\ Leftrightarrow 2 (1/3 y^3)_{0}^{2} =16/3`
B. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatasnya adalah `y =f (x)` dan `y =g(x)` dengan `f (x) ≥ g(x)` pada selang
`[a,b]`. Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan Gambar 11 berikut ini.
`\DeltaA \approx (f(x)-g(x))dx`
Sehingga luasan dinyatakan adalah:
`A(R)=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx`
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu- `x`, jika luasannya disebelah kanan sumbu - `y`, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
`A(R)= \int_{c}^{d} (f(y)-g(y)) dy`
Contoh: Carilah luas daerah diantara kurva `y=x^4` dan `y= 2x-x²`
Jawaban:
Mencari titik - titik perpotongan kedua persamaan
`x^4=2x-x^2 \to 2x-x^2-x^4 =0`
`x=0` atau `x=1`
Sehingga diperoleh:
`\Delta A(R)\approx [(2x-x^2)-x^4] \Delta x=(-x^4-x^2+2x) \Delta x`
`A(R) = \int_{0}^{1} (-x^4-x^2+2x) dx`
`=[-1/5 x^5 -1/3 x^3 +x^2]_{0}^{1}`
`= (-1/5 . 1^5 - 1/3 . 1^3 + 1^2)-0`
`= -1/5-1/3+1 =7/15`
`A(R) = 7/15 \approx 0,46` satuan luas
Sekian pembahasan mengenai materi luas pada bidang datar, semoga teman-teman makin paham materinya dan sukses selalu yaaa.
