LUAS DAERAH BIDANG DATAR- APLIKASI INTEGRAL TENTU

Assalamualaikum, halo guys pada artikel ini kita akan membahas mengenai salah satu dari aplikasi integral tentu yaitu materi luas daerah pada bidang datar.

    Materi ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan (4) luas permukaan. 

    Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam bahasan ini adalah menentukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar. Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, dapat menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:

A. Luas Suatu Luasan 

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang `XOY` dengan persamaan `y =f (x)` atau `x =g( y)` atau `y = f (x), x =g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan. `y=f (x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu `-x` atau luasan dengan persamaan `x =g( y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu`-y`. Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.

                                                                         (Gambar 1)

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y = f (x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu - `x` atau luasan dengan persamaan `x = g( y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu - `y`. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut. 

                                                                          (Gambar 2)

Luasan positif dan negatif sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasan juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya `y_2=f(x)` dan  `y_2 =g(x)`. Pembahasan ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva.

1. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat

    Perhatikan gambar luasan dibawah ini 

                                                                            (Gambar 3)

Sebagaimana terlihat pada Gambar 3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x),x=a,x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan           

`A(R)=\int_{a}^{b} -f(x) dx`

Jika luasan terletak di bawah sumbu-`x`, maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan sehingga  luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk            

`A(R)=\int_{a}^{b} -f(x) dx=|\int_{a}^{b} f(x) dx|`

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut: 

     a). Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya, sehingga tampak jelas batas - batasnya dan mudah dilihat. 

     b). Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu`-x` atau sumbu`-y`, selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

  c). Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang.

   d). Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk. 

     e). Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan. 

Contoh Soal:

1. Segitiga ABC terletak pada `XOY`, titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0), dan (3,7) . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC.

Jawaban:

Gambar segitiga ABC adalah:

                                                                (Gambar 6) 

Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus:

`(y-y_A)/(x-x_A) = (y_c-y_A)/(x_c-x_A)`

Diperoleh persamaan `(y-0)/(x-0) = (7-0)/(3-0)`

                        `3y= 7x` atau `y= 7/3 x`

Sehingga luas yang dicari dengan `A(R)=\int_{a}^{b} f(x)` `dx`

    `\Leftrightarrow \int_{0}^{3} 7/3 x dx= [7/6 x^2 ]_{0}^{3} = 7/6× 9= 10,5` satuan luas

2. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y= 4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat. 

Jawaban:

Luasan  `y=4-x^2` yang di batasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah

                                                                          (Gambar 7)

Perhatikan Gambar 7 di atas luasan yang diketahui berada di atas sumbu - `x` sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:

`A(R)=\int_{a}^{b} -f(x) dx`

`\Leftrightarrow \int_{-2}^{2} (4-x^2) dx`

`\Leftrightarrow 2  \int_{0}^{2} (4-x^2) dx`

`\Leftrightarrow 2 (4x-1/3 x^3)_{0}^{2}`

`\Leftrightarrow 2(4.2-1/3×2^3)- 2 (4.0-13×0^3)`

 `\Leftrightarrow 2 (8-8/3) = 32/3`

3. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x=y^2` dan garis `x=4`

                                                                          (Gambar 8)

Dengan cara yang sama luasan diatas dinyatakan dengan

`\int_{0}^{4} f(x)d(x) +\int_{0}^{4}-f(x)dx`

`\Leftrightarrow \int_{0}^{4} f(x)d(x) +\int_{0}^{4}-f(x)dx`

`\Leftrightarrow \int_{0}^{4} \sqrt{x}`  `dx +\int_{0}^{4}-(-\sqrt{x}) dx`

` \Leftrightarrow 2\int_{0}^{4} \sqrt{x}` `dx`

` \Leftrightarrow 2(2/3 x^{3/2})_0^4 = 4/3×8=32/3`

Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini

                                                                          (Gambar 9)

Luasan pada Gambar 9 di atas dibatasi oleh kurva `x = g(y), y =c,y =d`, dan `x =0`. Dengan integral tertentu luasan  R yang berada disebelah kanan sumbu-`x` dinyatakan dalam bentuk

 

`A(R)= \int_{c}^{d} g(y) dy`

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu - `x` , maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:

`A(R) =\int_{c}^{d}-g(y)dy = |\int_{c}^{d} g(y)dy|`

Contoh:

1. Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `x= y^2` dan garis `y=-2, y=2`

Jawaban:

Luasan `x=y^2` dan garis `y=-2,y=2` dapat digambarkan sebagai berikut:

                                                          (Gambar 10)

Sehingga luas luasan tersebut adalah

         `A(R)= int_{c}^{d} g(y)dy`

                   `\Leftrightarrow int_{-2}^{2} y^2 dy`

                   `\Leftrightarrow int_{0}^{2} y^2dy`

                  `\ Leftrightarrow 2 (1/3 y^3)_{0}^{2} =16/3`

B. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatasnya adalah `y =f (x)` dan `y =g(x)` dengan `f (x) ≥ g(x)` pada selang

`[a,b]`. Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positif dan luasan negatif. Dengan demikian aturan menentukan luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan Gambar 11 berikut ini.

                                                                          (Gambar 11)

            `\DeltaA \approx (f(x)-g(x))dx`

      Sehingga luasan dinyatakan adalah:

            `A(R)=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx`

      Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu- `x`, jika luasannya disebelah kanan sumbu - `y`, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan

`A(R)= \int_{c}^{d} (f(y)-g(y)) dy`

Contoh: 

Carilah luas daerah diantara kurva `y=x^4` dan `y= 2x-x²`

 Jawaban:

                                                                         (Gambar 12)

Mencari titik - titik  perpotongan kedua persamaan

       `x^4=2x-x^2 \to 2x-x^2-x^4 =0`

                             `x=0` atau `x=1`

Sehingga diperoleh:

      `\Delta A(R)\approx [(2x-x^2)-x^4] \Delta x=(-x^4-x^2+2x) \Delta x`

         `A(R) = \int_{0}^{1} (-x^4-x^2+2x) dx`

                   `=[-1/5 x^5 -1/3 x^3 +x^2]_{0}^{1}`

                   `= (-1/5 . 1^5 - 1/3 . 1^3 + 1^2)-0`

                   `= -1/5-1/3+1 =7/15`

         `A(R) = 7/15 \approx 0,46` satuan luas

Sekian pembahasan mengenai materi luas pada bidang datar, semoga teman-teman makin paham materinya dan sukses selalu yaaa.

Read More

NOTASI SIGMA

 

Halo guys, pada artikel ini kita akan membahas mengenai materi notasi sigma. Yukk, simak materinya.

A. PENULISAN SIGMA

Perhatikan penulisan sigma berikut:

    1. `1^2+2^2+ 3^2+...+100^2 \to \sum_{i=1}^{100} i^2`

    2. `a_1, a_2, a_3,...+a_n \to \sum_{i=1}^{n} a_i`

Notasi sigma dilambangkan dengan `\sum` (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S. Menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks `i` terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga:

      ` • \sum_{i=2}^{5} b_i =b_2, b_3,b_4, b_5`

      `•\sum_{u=3}^{n} \frac{1}{u} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}`

      `•\sum_{k=1}^{3} \frac{k}{k^2+1}= \frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}`

      `•\sum_{i=m}^{n} F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`

Bentuk lain penulisan sigma 

Misalnya:  

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}=c_i` mempunyai nilai sama, maka:

     `\sum_{i=1}^{n}c_i= c+c+c+...+c=nc`

     `\sum_{i=1}^{n}c_i=nc`

Contoh:

    1. `\sum_{i=1}^{15} 3 = 15(3)=45`

    2. `\sum_{i=1}^{200} 5 =200(5)=1000`

    3. `\sum_{a=0}^{3} x^5 = x^5+x^5+x^5+x^5`

B. PERUBAHAN INDEKS JUMLAH

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut contoh soalnya:

Nyatakan `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol

Penyelesaian:

`l= k-3`

`\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} = \sum_{l=0}^{7} 5^{(l+3)-2}`

                      `=\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}`

Dapat di cek bahwa hasil dari `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dan `\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}` adalah `5+5^2+5^3+5^4+5^5`

C. SIFAT  KELINEARAN SIGMA

Misalnya `a_i` dan `b_i` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta maka:

    `• \sum_{i=1}^{n} ca_i= c\sum_{i=1}^{n}a_i`

    `•\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)` `=\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i`

    `•\sum_{i=1}^{n} (a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i -\sum_{i=1}^{n} b_i`

Contoh:

1. Misalkan `\sum_{j=1}^{50} a_j=30` dan `\sum_{j=1}^{50} b_j =15`

Hitunglah `\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)`

Penyelesaian:

`\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)  =\sum_{j=1}^{50} 3 a_j+\sum_{j=1}^{50} 5 b_j`

                                `=3 \sum_{j=1}^{50} a_j+5 \sum_{j=1}^{50} b_j`

                                `=3(30)+5(15)`

                                `=90+45`

                                `=135`

2. Misalkan `\sum_{i=1}^{30} a_i=13` dan `\sum_{i=1}^{30} b_i=25`. 

Hitunglah `\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3)`

Penyelesaian:

`\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3) =``\sum_{i=1}^{30} 7a_i -\sum_{i=1}^{30} 4b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`

                                        `=``7 \sum_{i=1}^{30} a_i - 4 \sum_{i=1}^{30} b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`

                                        `=7(13)-4(25)+30(3)`

                                        `=91-100+90`

                                        `=81`

D. BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Jumlah dari `n` bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-`n`. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:  

 `• \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}` 

 `•\sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}`

 `•\sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}]^2` 

 `•\sum_{k=1}^n k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4`

                   `=\frac{n(n+1)(6 n^3+9 n^2+n-1)}{30}`

Contoh:

1. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{15} k(k+1)`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{15} k(k+1)  =\sum_{k=1}^{15} (k^2+k)`

                           `=\sum_{k=1}^{15} k^2+\sum_{k=1}^{15} k`

                           `=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}`

                           `=\frac{15(16)(31)}{6}+\frac{15(16)}{2}`

                           `=1240+120`

                           `=1360`

 2. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{10} k^3`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{10} k^3 =[\frac{n(n+1)}{2}]^2`

             `=[\frac{10(10+1)}{2}]^2`

             `=[\frac{10.11}{2}]^2 \Rightarrow[\frac{110}{2}]^2`

             `=55^2`

             `=3025`

Catatan:

Dalam rumus:

         `\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}` atau

         `1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

Contoh:

Ekspresikan `\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2`dalam bentuk tertutup 

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2= \sum_{k=1}^{n} (4+2a+a^2)`

                         `= \sum_{k=1}^{n} 4 + 2\sum_{k=1}^{n} a + \sum_{k=1}^{n} a^2`

                         `=  4n + (2×\frac{n(n+1)}{2}) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

                         `= 4n+\frac{2n^2+2n} {2} + \frac{(n^2+n) (2n+1)}{6}`

                         `=\frac{24n}{6} + \frac {6^2+6n}{6} + \frac{2n^3 +3n^2 +n}{6}`

                            `=\frac{2n^3+9n^2 +31n}{6}`

                        `=\frac{1}{3} n^3 +\frac{3}{2}n^2 +\frac{31}{6} n`

Sekian materi singkat mengenai notasi sigma, semoga teman-teman paham yaa.

Read More