Halooo guys,
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu, apasih integral tentu?. Yukk, simak pembahasan-nya
Integral tentu adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan.
1. Luas Menurut Poligon Dalam
Sebagai contoh, akan dicari L(p) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva y=f(x)=x2, sumbu –, garis x = 0 dan x = 2. Pertama dipartisikan selang 0≤x≤2 atas selang bagian yang sama dengan panjang (\Delta)=\frac{2}{n} dan memakai titik-titik :
x_0 = 0
x_1 = 0 + \Delta x = frac{2}{n} = (\frac{2}{n})
x_2 = 0 + \Delta 2x = \frac{4}{n} = 2 (\frac{2}{n})
x_3 = 0 + \Delta 3x = \frac{4}{n} = 3 (\frac{2}{n})
.
.
x_n= 0 + n\Delta x = n (\frac{2}{n} = 2)
Pada gambar tampak bahwa L(P)_{dalam} < L(P)_{luar}
2. Luas Poligon Luar
L(P)_{luar} = f(X_1) \Delta x + f(X_2) \Delta x+f(X_2) \Delta x+.....+ f(X_{n-1}) \Delta x
=1(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}+2(\frac{1}{2n})^2\frac{2}{n} +...+ n(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}
=(\frac{2}{n})^3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)
=(\frac{2}{n})^n\sum_{i=1}^ni^2
=(\frac{2}{n})^3 (\frac{1}{6} (n+1)(3n+2))
=8/3+4/n+4/3 n^2
Sehingga:
\lim_{ n\to \infty} L(P)_{luar}=\lim_{ n\to \infty} (\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3}n^2)=\frac{8}{3}
Menurut teorema apit, maka untuk L(P_{dalam}) < L(P) <L(P_{luar}) didapat L(P)=8/3.
Selanjutnya, diambil suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang[a,b]. Partisikan selang [a,b]atas n selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik :
a = X_0<X_1<X_2 …….<X_{n-1}<X_n = b, \Delta X_i = X_i – X_{i-1} (jarak antara titik X_{i-1} dengan X_i. Pada setiap selang bagian (X_{i-1},X_i) dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya \overline {X_i}sebagai berikut :
Sebuah partisi dari [a,b] dengan 5 selang bagian, jumlah:
R_p=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\Delta x_i disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi. Dari pembahasan di atas dengan memisalkan |P|menyatakan norma P, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi P, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:
Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang [a,b]. Jika nilai dari \lim_{ |P|\to 0}=\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1 ada, maka dikatakan bahwa f terintegralkan pada [a,b]dapat ditulis sebagai: \int _ { a } ^ { b} f(x)dx=\lim_{|P|\to 0} =\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) f dari a ke b.
Pada lambang \int _ { a } ^ { b} f(x)dx, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut.
Dalam definisi\int _ { a } ^ { b} f(x)dx secara implisit kita menganggap bahwa a<b. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.
•\int_a^bf\left(x\right)dx=0
•\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_b^af\left(x\right)dx,a>b
Contoh soal:
1.Hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu x, garis x=2 dan x=4 daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.
Penyelesaian:
Karena selang [2,5] dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka \Delta x=\frac{4-2}{5}=frac{2}{5}, dan
x_0=2
x_1=2+1\Delta x=2+2/5=12/5
x_2=2+2\Delta x=2+4/5=14/5
x_3=2+3\Delta x=2+6/5=16/5
x_4=2+4\Delta x=2+8/5=18/5
x_5=2+5\Delta x=2+10/5=4
Luas poligon dalam:
L(P_{dalam})= f(x_0) \Delta x+f(x_1) \Delta x+f(x_2) \Delta x+f(x_3) \Delta x+f(x_4) \Delta x
=(1/2)(2)(2/5)+ (1/2)(12/5)(2/5)+(1/2)(14/5)(2/5)+(1/2)(16/5)(2/5)+(1/2)(18/5)(2/5)
=(2/5)+(12/25)+(14/25)+(16/25)+(18/25)
=(14/25)
2. Hitunglah jumlah riemen R_p untuk f(x)=x-1 dan partisi p adalah 3<3,75<4,25<5,5<6<7 serta titik-titik sampel x_1=3,x_2=4,x_3=4.75,x_4=6,dan x_5=6.75
Penyelesaian:
R_p=\sum_{i=1}^5f(x_1)\Delta x
=(2)(0,75)+(3)(0,5)+(3,75)(1,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)
= 15,9375
3. Hitunglah int_{-1}^3(x+4)dx dengan menggunakan integral Riemann.
Penyelesaian:
Bagi selang [-1,3] atas n selang bagian yang sama, masing-masing sebesar \Delta x=(3-(-1))/n=4/n. Pada setiap selang bagian [x_{i-1},x_{i}] digunakan \overline x=x_i sebagai titik sampai sehingga:
x_0 = -1
x_1 = -1+ \Delta x = -1+ frac{4}{n}
x_2 = -1 + 2 \Delta x =-1+2(\frac{4}{n})
x_3 = -1 + 3 \Delta x = -1 + 3( \frac{4}{n})
.
.
x_i= -1 + i \Delta x = -1+n (\frac{4}{n})
.
.
x_n= -1 + n\Delta x = -1+n (\frac{4}{n})=3
Maka f(x_1)=x_1 +4=(-1+i(4/n))+4= 3+ {4i}/n
\sum_{i=0}^n f(\overline{x_i})x_i=\sum_{i=0}^nf(\overline{x_i})\Deltax
=\sum_{i=0}^n (3+ {4i}/n)(4/n)=\sum_{i=1}^n(12/n) + \sum_{i=1}^n {16i}/n^2
=12/n (n) \sum_{i=1}^n1 +16/n^2\sum_{i=1}^n i
=12/n (n) + 16/n^2 (1/2 n(n-1))
=20-8/n
Jadi, int_{-1}^3(x+4)dx= \lim_{n to \infty} (20-8/n)= 20
Sekian materi mengenai integral tentu, semoga teman-teman paham yaa :')
