Halooo guys,
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu, apasih integral tentu?. Yukk, simak pembahasan-nya
Integral tentu adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan.
1. Luas Menurut Poligon Dalam
Sebagai contoh, akan dicari `L(p)` Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2`, sumbu `–x`, garis `x = 0` dan `x = 2`. Pertama dipartisikan selang `0≤x≤2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `(\Delta)=\frac{2}{n}` dan memakai titik-titik :
`x_0 = 0`
`x_1 = 0 + \Delta x = frac{2}{n} = (\frac{2}{n})`
`x_2 = 0 + \Delta 2x = \frac{4}{n} = 2 (\frac{2}{n})`
`x_3 = 0 + \Delta 3x = \frac{4}{n} = 3 (\frac{2}{n}) `
.
.
`x_n= 0 + n\Delta x = n (\frac{2}{n} = 2)`
Pada gambar tampak bahwa `L(P)_{dalam} < L(P)_{luar}`
2. Luas Poligon Luar
`L(P)_{luar} = f(X_1) \Delta x + f(X_2) \Delta x+f(X_2) \Delta x+.....+ f(X_{n-1}) \Delta x`
`=1(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}+2(\frac{1}{2n})^2\frac{2}{n} +...+ n(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}`
`=(\frac{2}{n})^3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)`
`=(\frac{2}{n})^n\sum_{i=1}^ni^2`
`=(\frac{2}{n})^3 (\frac{1}{6} (n+1)(3n+2))`
`=8/3+4/n+4/3 n^2`
Sehingga:
`\lim_{ n\to \infty} L(P)_{luar}``=\lim_{ n\to \infty} (\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3}n^2)=\frac{8}{3}`
Menurut teorema apit, maka untuk `L(P_{dalam}) < L(P) <L(P_{luar})` didapat `L(P)=8/3`.
Selanjutnya, diambil suatu fungsi `f` yang terdefinisi pada selang`[a,b]`. Partisikan selang `[a,b]`atas `n` selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik :
`a = X_0<X_1<X_2 …….<X_{n-1}<X_n = b, \Delta X_i = X_i – X_{i-1}` (jarak antara titik `X_{i-1}` dengan `X_i`. Pada setiap selang bagian `(X_{i-1},X_i)` dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\overline {X_i}`sebagai berikut :
Sebuah partisi dari `[a,b]` dengan 5 selang bagian, jumlah:
`R_p=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\Delta x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi. Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `|P|`menyatakan norma P, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi `P`, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:
Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `[a,b]`. Jika nilai dari `\lim_{ |P|\to 0}=``\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1` ada, maka dikatakan bahwa `f` terintegralkan pada `[a,b]`dapat ditulis sebagai: `\int _ { a } ^ { b} f(x)dx=\lim_{|P|\to 0} =\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1`yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) `f` dari `a` ke `b`.
Pada lambang `\int _ { a } ^ { b} f(x)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut.
Dalam definisi`\int _ { a } ^ { b} f(x)dx` secara implisit kita menganggap bahwa `a<b`. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.
`•\int_a^bf\left(x\right)dx=0`
`•\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_b^af\left(x\right)dx,a>b`
Contoh soal:
1.Hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu `x`, garis `x=2` dan `x=4` daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.
Penyelesaian:
Karena selang `[2,5]` dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\Delta x=\frac{4-2}{5}=frac{2}{5}`, dan
`x_0=2`
`x_1=2+1\Delta x=2+2/5=12/5`
`x_2=2+2\Delta x=2+4/5=14/5`
`x_3=2+3\Delta x=2+6/5=16/5`
`x_4=2+4\Delta x=2+8/5=18/5`
`x_5=2+5\Delta x=2+10/5=4`
Luas poligon dalam:
`L(P_{dalam})= f(x_0) \Delta x+f(x_1) \Delta x+f(x_2) \Delta x+f(x_3) \Delta x+f(x_4) \Delta x`
`=(1/2)(2)(2/5)+ (1/2)(12/5)(2/5)+(1/2)(14/5)(2/5)+(1/2)(16/5)(2/5)+(1/2)(18/5)(2/5)`
`=(2/5)+(12/25)+(14/25)+(16/25)+(18/25)`
`=(14/25)`
2. Hitunglah jumlah riemen `R_p` untuk `f(x)=x-1` dan partisi p adalah `3<3,75<4,25<5,5<6<7` serta titik-titik sampel `x_1=3,x_2=4,x_3=4.75,x_4=6,`dan `x_5=6.75`
Penyelesaian:
`R_p=\sum_{i=1}^5f(x_1)\Delta x`
`=(2)(0,75)+(3)(0,5)+(3,75)(1,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)`
`= 15,9375`
3. Hitunglah `int_{-1}^3(x+4)dx` dengan menggunakan integral Riemann.
Penyelesaian:
Bagi selang `[-1,3]` atas n selang bagian yang sama, masing-masing sebesar `\Delta x=(3-(-1))/n=4/n`. Pada setiap selang bagian `[x_{i-1},x_{i}]` digunakan `\overline x=x_i` sebagai titik sampai sehingga:
`x_0 = -1`
`x_1 = -1+ \Delta x = -1+ frac{4}{n}`
`x_2 = -1 + 2 \Delta x =-1+2(\frac{4}{n})`
`x_3 = -1 + 3 \Delta x = -1 + 3( \frac{4}{n})`
.
.
`x_i= -1 + i \Delta x = -1+n (\frac{4}{n})`
.
.
`x_n= -1 + n\Delta x = -1+n (\frac{4}{n})=3`
Maka `f(x_1)=x_1 +4=(-1+i(4/n))+4= 3+ {4i}/n`
`\sum_{i=0}^n f(\overline{x_i})x_i=\sum_{i=0}^nf(\overline{x_i})\Deltax`
`=\sum_{i=0}^n (3+ {4i}/n)(4/n)=\sum_{i=1}^n(12/n) + \sum_{i=1}^n {16i}/n^2`
`=12/n (n) \sum_{i=1}^n1 +16/n^2\sum_{i=1}^n i`
`=12/n (n) + 16/n^2 (1/2 n(n-1))`
`=20-8/n`
Jadi, `int_{-1}^3(x+4)dx= \lim_{n to \infty} (20-8/n)= 20`
Sekian materi mengenai integral tentu, semoga teman-teman paham yaa :')
