Halo teman-teman,
Setelah pembahasan mengenai integral fungsi trigonometri , pada artikel ini kita akan membahas mengenai teknik substitusi pada integral fungsi trigonometri
Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk
`•\sqrt{a^2-x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2-a^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2-a^2}, a>0, a` € Real
Atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya:
•`\sqrt{a^2-b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2-x^2}`
•`\sqrt{a^2+b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2+x^2}`
•`\sqrt{a^2 x^2 - b^2}=\sqrt{(x^2-\frac{b}{a})^2}` atau `\int \sqrt{ax^2+bx+c}` dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
•`\sqrt{a^2+b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2+x^2}`
•`\sqrt{a^2 x^2 - b^2}=\sqrt{(x^2-\frac{b}{a})^2}` atau `\int \sqrt{ax^2+bx+c}` dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Bentuk integrannya diantaranya:
1. `\sqrt{a^2-x^2}` gunakan substitusi
`x=a sin t` atau `sin t=\frac{x}{a}`
`x=a sin t``\Leftrightarrow dx= a cos t``dt`
Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:
`\sqrt{a^2 -x^2}= \sqrt{a^2-(a sin t)^2}`
`= \sqrt{a^2(1-sin^2 t)}`
`= a cos t`
2. `\sqrt{a^2+x^2}` gunakan substitusi
`x=a tan t` atau `tan t=\frac{x}{a}`
`x=a tan t``\Leftrightarrow dx= a sec^2 t``dt`
Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:
`\sqrt{a^2 +x^2}= \sqrt{a^2+(a tan t)^2}`
`= \sqrt{a^2(1-tan^2 t)}`
`= a sec t`
3. `\sqrt{x^2-a^2}` gunakan substitusi
`x=a sec t` atau `sec t=\frac{x}{a}`
`x=a sec t``\Leftrightarrow dx= a sec t tan t``dt`
Dengan `0≤t<\frac{π}{2};(x≥a)` dan`\frac{π}{2}≤t≤π; (x≤a)` sehingga:
`\sqrt{x^2 +a^2}= \sqrt{(a sec t)^2 a^2}`
`= \sqrt{a^2sin^2 t-a^2)}`
`= a tan t`
Catatan:
Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu `cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t`.Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.
Contoh soal:
1. Tentukan `int \sqrt{16-x^2}`
Penyelesaian:
Substitusikan `x= 4 sin t \Rightarrow sin t =\frac{x}{4}`
`\Leftrightarrow dx= 4 cos t``dt`
`\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-16sin^2 t}`
`=\sqrt{16(1-sin^2 t)}`
`=4 cos t`
Sehingga:
`int \sqrt{16-x^2}dx``= \int 4 cos t(4 cos t dt)`
`=16\int cos t.cos t` `dt`
`= 16 \int cos^2 t dt`
`=16 \int \frac{1+cos 2t}{2}dt`
`=8 \int(1+cos 2t)dt`
`= 8\int dt + 8\int cos 2t` `dt`
`=8t + 4 sin 2t +C`
`= 8t+8 Sin t cos t +C`
`= 8 arcsin \frac{x}{4}+ 8(\frac{x}{4})(\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}) +C`
`= 8 arcsin \frac{x}{4}+(\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2})+C`
2. Tentukan `\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`
Penyelesaian:
`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`
Substitusikan`x= 4 tan \Rightarrow tan t= \frac{x}{4}`
`\Leftrightarrow d(x)= 4 sec^2 t` `dt`
`\sqrt {16+x^2}=\sqrt{16 + (4 tan t )^2}`
`=\sqrt{16 (1+ tan^2 t)}`
`=4sec t`
Sehingga`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`
`= \int \frac{4sec^2 t dt}{4 sec t}`C`
`=\int sec t` `dt`
`=In | sec t+tan t| +C`
`=In|\frac{\sqrt{16+x^2}}{4}+\frac{x}{4}|+C`
3. Tentukan `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`
Penyelesaian:
Substitusikan `x=5 sec t \Rightarrow sec t =\frac{x}{5}`
`\Leftrightarrow dx= 5 sec t tan t` `dt`
`\sqrt{x^2- 25} = \sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`
`=\sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`
`= \sqrt{5 tan t}`
Sehingga: `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`
`=\int \frac{5tan t}{5 sec t} (5sec t tan t dt)`
`=\int \frac{25 sec t tan t+ tan^2 t}{5 sec t} dt`
`= 5\int tan^2 t` `dt`
`= 5 \int (sec^2 t-1) dt`
`= 5 tan t -5t+c`
`= 5 \frac{\sqrt{x^2-25}}{5}-5 arcsec \frac{x}{5} +C`
Sekian materi pada artikel ini, semoga teman-teman semakin paham yaaa.
