Halo guys, pada artikel ini kita akan membahas mengenai materi notasi sigma. Yukk, simak materinya.
A. PENULISAN SIGMA
Perhatikan penulisan sigma berikut:
1. 12+22+32+...
2. a_1, a_2, a_3,...+a_n \to \sum_{i=1}^{n} a_i
Notasi sigma dilambangkan dengan \sum (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S. Menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks i terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga:
• \sum_{i=2}^{5} b_i =b_2, b_3,b_4, b_5
•\sum_{u=3}^{n} \frac{1}{u} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}
•\sum_{k=1}^{3} \frac{k}{k^2+1}= \frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}
•\sum_{i=m}^{n} F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)
Bentuk lain penulisan sigma
Misalnya:
Jika semua c dalam \sum_{i=1}^{n}=c_i mempunyai nilai sama, maka:
\sum_{i=1}^{n}c_i= c+c+c+...+c=nc
\sum_{i=1}^{n}c_i=nc
Contoh:
1. \sum_{i=1}^{15} 3 = 15(3)=45
2. \sum_{i=1}^{200} 5 =200(5)=1000
3. \sum_{a=0}^{3} x^5 = x^5+x^5+x^5+x^5
B. PERUBAHAN INDEKS JUMLAH
Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut contoh soalnya:
Nyatakan \sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol
Penyelesaian:
l= k-3
\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} = \sum_{l=0}^{7} 5^{(l+3)-2}
=\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}
Dapat di cek bahwa hasil dari \sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} dan \sum_{l=0}^{7} 5^{l+1} adalah 5+5^2+5^3+5^4+5^5
C. SIFAT KELINEARAN SIGMA
Misalnya a_i dan b_i menyatakan dua barisan dan c suatu konstanta maka:
• \sum_{i=1}^{n} ca_i= c\sum_{i=1}^{n}a_i
•\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i) =\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i
•\sum_{i=1}^{n} (a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i -\sum_{i=1}^{n} b_i
Contoh:
1. Misalkan \sum_{j=1}^{50} a_j=30 dan \sum_{j=1}^{50} b_j =15
Hitunglah \sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)
Penyelesaian:
\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j) =\sum_{j=1}^{50} 3 a_j+\sum_{j=1}^{50} 5 b_j
=3 \sum_{j=1}^{50} a_j+5 \sum_{j=1}^{50} b_j
=3(30)+5(15)
=90+45
=135
2. Misalkan \sum_{i=1}^{30} a_i=13 dan \sum_{i=1}^{30} b_i=25.
Hitunglah \sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3)
Penyelesaian:
\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3) =\sum_{i=1}^{30} 7a_i -\sum_{i=1}^{30} 4b_i + \sum_{i=1}^{30} 3
=7 \sum_{i=1}^{30} a_i - 4 \sum_{i=1}^{30} b_i + \sum_{i=1}^{30} 3
=7(13)-4(25)+30(3)
=91-100+90
=81
D. BEBERAPA JUMLAH KHUSUS
Jumlah dari n bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-n. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:
• \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
•\sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
•\sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}]^2
•\sum_{k=1}^n k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4
=\frac{n(n+1)(6 n^3+9 n^2+n-1)}{30}
Contoh:
1. Tentukan hasil dari \sum_{k=1}^{15} k(k+1)
Penyelesaian:
\sum_{k=1}^{15} k(k+1) =\sum_{k=1}^{15} (k^2+k)
=\sum_{k=1}^{15} k^2+\sum_{k=1}^{15} k
=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}
=\frac{15(16)(31)}{6}+\frac{15(16)}{2}
=1240+120
=1360
2. Tentukan hasil dari \sum_{k=1}^{10} k^3
Penyelesaian:
\sum_{k=1}^{10} k^3 =[\frac{n(n+1)}{2}]^2
=[\frac{10(10+1)}{2}]^2
=[\frac{10.11}{2}]^2 \Rightarrow[\frac{110}{2}]^2
=55^2
=3025
Catatan:
Dalam rumus:
\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} atau
1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.
Contoh:
Ekspresikan \sum_{k=1}^{n} (2+a)^2dalam bentuk tertutup
Penyelesaian:
\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2= \sum_{k=1}^{n} (4+2a+a^2)
= \sum_{k=1}^{n} 4 + 2\sum_{k=1}^{n} a + \sum_{k=1}^{n} a^2
= 4n + (2×\frac{n(n+1)}{2}) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
= 4n+\frac{2n^2+2n} {2} + \frac{(n^2+n) (2n+1)}{6}
=\frac{24n}{6} + \frac {6^2+6n}{6} + \frac{2n^3 +3n^2 +n}{6}
=\frac{2n^3+9n^2 +31n}{6}
=\frac{1}{3} n^3 +\frac{3}{2}n^2 +\frac{31}{6} n
Sekian materi singkat mengenai notasi sigma, semoga teman-teman paham yaa.
