Halo guys, pada artikel ini kita akan membahas mengenai materi notasi sigma. Yukk, simak materinya.
A. PENULISAN SIGMA
Perhatikan penulisan sigma berikut:
1. `1^2+2^2+ 3^2+...+100^2 \to \sum_{i=1}^{100} i^2`
2. `a_1, a_2, a_3,...+a_n \to \sum_{i=1}^{n} a_i`
Notasi sigma dilambangkan dengan `\sum` (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S. Menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks `i` terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga:
` • \sum_{i=2}^{5} b_i =b_2, b_3,b_4, b_5`
`•\sum_{u=3}^{n} \frac{1}{u} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}`
`•\sum_{k=1}^{3} \frac{k}{k^2+1}= \frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}`
`•\sum_{i=m}^{n} F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`
Bentuk lain penulisan sigma
Misalnya:
Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}=c_i` mempunyai nilai sama, maka:
`\sum_{i=1}^{n}c_i= c+c+c+...+c=nc`
`\sum_{i=1}^{n}c_i=nc`
Contoh:
1. `\sum_{i=1}^{15} 3 = 15(3)=45`
2. `\sum_{i=1}^{200} 5 =200(5)=1000`
3. `\sum_{a=0}^{3} x^5 = x^5+x^5+x^5+x^5`
B. PERUBAHAN INDEKS JUMLAH
Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut contoh soalnya:
Nyatakan `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol
Penyelesaian:
`l= k-3`
`\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} = \sum_{l=0}^{7} 5^{(l+3)-2}`
`=\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}`
Dapat di cek bahwa hasil dari `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dan `\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}` adalah `5+5^2+5^3+5^4+5^5`
C. SIFAT KELINEARAN SIGMA
Misalnya `a_i` dan `b_i` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta maka:
`• \sum_{i=1}^{n} ca_i= c\sum_{i=1}^{n}a_i`
`•\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)` `=\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i`
`•\sum_{i=1}^{n} (a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i -\sum_{i=1}^{n} b_i`
Contoh:
1. Misalkan `\sum_{j=1}^{50} a_j=30` dan `\sum_{j=1}^{50} b_j =15`
Hitunglah `\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)`
Penyelesaian:
`\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j) =\sum_{j=1}^{50} 3 a_j+\sum_{j=1}^{50} 5 b_j`
`=3 \sum_{j=1}^{50} a_j+5 \sum_{j=1}^{50} b_j`
`=3(30)+5(15)`
`=90+45`
`=135`
2. Misalkan `\sum_{i=1}^{30} a_i=13` dan `\sum_{i=1}^{30} b_i=25`.
Hitunglah `\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3)`
Penyelesaian:
`\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3) =``\sum_{i=1}^{30} 7a_i -\sum_{i=1}^{30} 4b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`
`=``7 \sum_{i=1}^{30} a_i - 4 \sum_{i=1}^{30} b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`
`=7(13)-4(25)+30(3)`
`=91-100+90`
`=81`
D. BEBERAPA JUMLAH KHUSUS
Jumlah dari `n` bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-`n`. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:
`• \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}`
`•\sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}`
`•\sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}]^2`
`•\sum_{k=1}^n k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4`
`=\frac{n(n+1)(6 n^3+9 n^2+n-1)}{30}`
Contoh:
1. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{15} k(k+1)`
Penyelesaian:
`\sum_{k=1}^{15} k(k+1) =\sum_{k=1}^{15} (k^2+k)`
`=\sum_{k=1}^{15} k^2+\sum_{k=1}^{15} k`
`=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}`
`=\frac{15(16)(31)}{6}+\frac{15(16)}{2}`
`=1240+120`
`=1360`
2. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{10} k^3`
Penyelesaian:
`\sum_{k=1}^{10} k^3 =[\frac{n(n+1)}{2}]^2`
`=[\frac{10(10+1)}{2}]^2`
`=[\frac{10.11}{2}]^2 \Rightarrow[\frac{110}{2}]^2`
`=55^2`
`=3025`
Catatan:
Dalam rumus:
`\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}` atau
`1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.
Contoh:
Ekspresikan `\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2`dalam bentuk tertutup
Penyelesaian:
`\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2= \sum_{k=1}^{n} (4+2a+a^2)`
`= \sum_{k=1}^{n} 4 + 2\sum_{k=1}^{n} a + \sum_{k=1}^{n} a^2`
`= 4n + (2×\frac{n(n+1)}{2}) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
`= 4n+\frac{2n^2+2n} {2} + \frac{(n^2+n) (2n+1)}{6}`
`=\frac{24n}{6} + \frac {6^2+6n}{6} + \frac{2n^3 +3n^2 +n}{6}`
`=\frac{2n^3+9n^2 +31n}{6}`
`=\frac{1}{3} n^3 +\frac{3}{2}n^2 +\frac{31}{6} n`
Sekian materi singkat mengenai notasi sigma, semoga teman-teman paham yaa.
