INTEGRAL TAK WAJAR

 

Halo, Assalamualaikum teman-teman

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tak wajar. Nah, sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema:

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada `I = [a,b]`, dan `F(x)` sebarang antiturunan pada I, maka

`\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

Contoh:

1. `\int_{2}^{4} (1-x)dx=[x-1/2 x^2]_{2}^{4}`

                               `=(4-1/2.16)-(2-1/4.4)`

                               `=-4`

2. `\int_{1}^{2} dx/(1+x) =[In|1+x|]_{1}^{2}`

                         `=In(1+2)-In(1+1)`

                         `=In3-In2`

3. `\int_{1}^{2} dx/\sqrt{1+x}`, tidak dapat diselesaikan dengan Teorema diatas karena integran `f(x)=1/(1-x)` tidak terdefinisi pada x=1`

4. `\int_{-1}^{1} dx/x`, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran `f(x) 1/x` tidak terdefinisi di `x=0`

       Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk `\int_{a}^{b}f(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di `[a,b]`, sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi.

Contoh:

1. `\int_{0}^{5} dx/(5-x), f(x)` tidak kontinu diatas batas `x=5` atau `f(x)` kontinu di `[0,5]`

2. `\int_{0}^{4} dx/(2-x)^2/3 , f(x)` tidak kontinu di `x=2 € [0,4]` atau `f(x)` kontinu di `[0,2]` dan `[2,4]`

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

Contoh:

1. `\int_{0}^{\infty} dx/(x^+4)`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty`

2. `\int_{-\infty}^{0} e^(2x) dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x=-\infty`

3. `\int_{-\infty}^{\infty} dx/(1+4x^2)`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`

    Pada contoh `a (1,2,3)` adalah integral tak wajar dengan integran `f(x)` tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh `b (1, 2, 3)` adalah integral tak wajar integran `f(x)` mempunyai batas di tak hingga `(\infty)`

    Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3. 2 Integral tak wajar dengan integral diskontinu 

a. `f(x)` kontinu di`[a,b]` dan tidak kontinu di `x=b`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = b`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = b - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+)`,sehingga

`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x)dx`

Karena batas atas `x=b-\varepsilon (x-b^-)` maka

`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx`

Contoh:

1. `\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}} \int_0^{4-\varepsilon} \frac{d x}{\sqrt{4-x}}, f(x)`tidak kontinu di batas atas `x=4`, sehingga

`=\left[\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-2 \sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}`

`=-2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}  \sqrt{4-(4-\varepsilon)}-\sqrt{(4-0)}\right] `

`=-2\left(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{\varepsilon}-\sqrt{4}\right)`

`=-2(0-2)`

`=4`

Cara lain

`\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}  =\lim _{t \rightarrow 4^{-}} \int_0^t \frac{d x}{\sqrt{4-x}}`

`=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}[-2 \sqrt{4-x}]_0^t`

`=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}\lfloor-2 \sqrt{4-t}+2 \sqrt{4-0}\rfloor`

`=-2(0)+2(2)`

` =4`

2. `\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}`

Fungsi di atas tidak kontinu di `x=2` dan `x=-2`, sehingga:

`\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}  =2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}`

`=2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}`

`=2\left[\Lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin \frac{x}{2}]_0^{2-\varepsilon}`

`=2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)`

`=2`

b. `f(x)` kontinu di`[a,b]` dan tidak kontinu di `x=a`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = a`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = a - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+)`, sehingga

`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)dx`

Karena batas bawah `x=a+\varepsilon (x-a^-) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx`

Contoh:

1. `\int_3^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}} =\lim _{t \rightarrow 3^+} \int_t^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}`

`=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[3(2) \sqrt{x-3}]^4`

`=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{4-3}-6 \sqrt{t-3}]`

`=6(1)-6(0)`

`=6`

2. `\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}, f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x=0`sehingga diperoleh:

`\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}} =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{x}]_{0+\varepsilon}^1`

`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[ 2 \sqrt{1}-2 \sqrt{0+\varepsilon}\right]`

`=2-0`

`=2`

c. `f(x)` kontinu di `[a,b] \cup [c,b]` dan tidak kontinu di `x=c`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = c`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = c + \varepsilon` dan ` x = c - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+)`, sehingga

`\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx`

`=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)dx+ \int_{c-\varepsilon }^{b} f(x)dx`

Dapat juga dinyatakan dengan:

`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx+ \lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx`

Contoh:

1. `\int_{-1}^8 x^{-\frac{1}{3}} d x, f(x)` tidak kontinu di `x=0`, sehingga diperoleh

`\int_{-1}^0 x^{-\frac{1}{3}} d x+\int_0^8 x^{-\frac{1}{3}} d x  =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} x^{-\frac{1}{3}} d x+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^8 x^{-\frac{1}{3}} d x`

`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{0+\varepsilon}^8`

`=-\frac{3}{2}+6`

`=\frac{9}{2}`

2. `\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4}, f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh:

`\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4} & =\int_{-1}^0 \frac{d x}{x^4}+\int_0^1 \frac{d x}{x^4}`

`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} \frac{d x}{x^4}+\lim \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{x^4}`

`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{-1}{3 x^3}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{-1}{3 x^3}\right]_{0+\varepsilon}^8`

`=` tidak berarti karena memuat bentuk `\frac{1}{0}`

3.3 Integral Tak Wajar Dengan Batas Tak Hingga 

   Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas `x =\infty`

   Selesaianya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk

`\int_{a}^{\infty} f(x)dx=\lim_ {t to\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx`

Contoh 

1. `\int_0^{\infty} \frac{d x}{x^2+1} =\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{d x}{x^2+4}`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right]_0^t `

`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{t}{2}-\frac{1}{2} \arctan 0\right]`

`\left(1 / 2 \cdot \frac{\pi}{2}-1 / 2.0\right)`

`=\frac{\pi}{4}`

2. `\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^2} =\lim _{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{d x}{x^2}`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{t}+1\right]_1^t`

`=1`

b. Intergral tak wajar dengan batas bawah di  `x =\infty`

  Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimanavariable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`\int_{-\infty}^{a} f(x)dx=\lim_ {t to\-infty} \int_{t}^{a} f(x)dx`

Contoh

1. `\int_{-\infty}^0 e^{2 x} dx=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 x}\right]_t^0`

 `=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2} \cdot 1-\frac{1}{2} e^{2 t}\right]`

`=1 / 2-0`

`=1 / 2`

2. `int_{-\infty}^0 \frac{d x}{(4-x)^2}=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{(4-x)}\right]_t^0`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{(4-t)}+\frac{1}{(4-0)}\right]`

`=0+\frac{1}{4}`

`=1 / 4`

c. Integral tak wajar dengan batas atas `x = \infty` dan batas bawah x=`\infrty`        

 Khusus untuk bentuk integral ini diubah dua terlebih dahulu menjadi penjumlahan integral tak wajar dengan `\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx +\int_{a}^{\infty} f(x)dx`, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

`\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx +\int_{a}^{\infty} f(x)dx`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_{t}^{a}f(x) dx + \lim_{t \rightarrow\infty} \int_{a}^{t}f(x) dx`

Contoh:

1. `\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2} & =\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+4 x^2}+\int_0^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2}` `=\lim _{t \rightarrow-\infty}[arctg 4 x]_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}[arctg 4 x]_0^t`

`=\frac{\pi}{2}`

2. `\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1} & =\int_{-\infty}^0 \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}+\int_0^{\infty} \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^0 \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}+\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1} `

`=\lim _{t \rightarrow-\infty} (arctgn e^x)_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}(arctgn e^x)_0^t`

`=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-0`

`=\frac{\pi}{2}`

Sekian materi  mengenai integral tak wajar, semoga teman-teman paham yaa.

Read More

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas materi mengenai integral fungsi rasional linear

A. Definisi

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)≠0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_n x^n, n=1,2,3,...` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

B. Pembagian Fungsi Rasional 

~ Fungsi rasional sejati : Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih kecil daripada derajat polinom penyebut `g(x)`.

~ Fungsi rasional tidak sejati: Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih besar atau sama dengan  derajat polinom penyebut `g(x)`.

Contoh:

     1. `F(x)= \frac{x+1}{x^2 -2x+1}` (Fungsi Rasional Sejati)

     2. `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

    3. `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

     `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

               `=x^2-3 + \frac{(14x+1)}{(x^3+5x)}`

     `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)≠0`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk     fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:

`•` Fungsi linear berbeda,
`g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dstnya
`•` Fungsi linear berulang,
`g(x)=(x-a)^n  =(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`
`•` Fungsi linear dan kuadrat,
`g(x)= (x-a)(ax^2 +bx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berbeda,
`g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berulang,
`g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya

Misal:
`•` Penyebut kombinasi linear berbeda
. `\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+ \frac{A_2}{(ax_2+b_2)}+...`
`•` Kombinasi linear berulang
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax+b)}+ \frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \frac{A_3}{(ax+b)^3}`+...
`•` Kombinasi kuadrat berbeda
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1x+B_1}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+ \frac{A_2x+B_2}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+...`

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_1, A_2,...,A_n` dan `B_1, B_2,...,B_n`

Contoh soal:

1.  `\int \frac{16}{x^2 -16} dx` `=\int \frac{16}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-4} dx`

                               `=\int \frac{A(x-4)+B(x+4)}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{(Ax-4A)(Bx+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{(A+B)x+(-4A+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`

Sehingga diperoleh:

     `A+B= 0`

     `-4A+4B = 16`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai

`A= -2` dan `B= 2`

Jadi, `\int \frac{16}{x^2 -16} dx``=\int  \frac{-2}{x+4}+ \frac{2}{x-4} dx`

                                   `=\int \frac{-2}{x+4} dx + \int \frac{2}{x-4} dx`

                                   `= -2 In |x+4| + 2 In |x-4| +C`

2. `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}`

`\int \frac{3x-13}{(x+5)(x-2)}dx = \int \frac{A}{(x+5)}+\frac{B}{(x-2)}  dx`

                                        `=\int\frac{A(x-2)+B(x+5)}{(x+5)(x-2)}` dx 

                                        `= \int\frac{(Ax-2A)+(Bx+5B)}{(x+5)(x-2)} dx`

                                        `=\int \frac{(A+B)x+(-2A+5B)}{(x+5)(x-3)} dx`

Sehingga diperoleh:

       `A+B=3`

       `-2A+5B=-13`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai `A=4` dan `B= -1`

Jadi, `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}= \int frac{4}{x+5} - \frac{1}{x-2} dx`

                                         `=\int \frac{4}{x+5} dx- \int \frac{1}{x-2} dx` 

                                         `= 4 In|x+5|- In |x-2| +C`

3. Tentukan  `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx`

Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom sama dengan pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:

`\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= \int  1+ \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

                                  `=\int 1 dx + \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

                                  `=x+C+ \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx``=\int \frac{5x+4}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} dx`

                                  `=\int \frac{A(x-4) +B (x+2)}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac {(Ax-4A)+(Bx+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac {(A+B)x + (-4A+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`

Sehingga diperoleh:

     `A+B=  5`

      `-4A+2B=4`, maka dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi diperoleh `A=1` dan `B=4`

`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx` `= \int \frac {1}{x+2} +\frac{4}{x-4} dx`

                                   `=\int \frac {1}{x+2} dx` `+ \int \frac{4}{x-4} dx`

                                   `= In |x+2| + 4 In |x-4|+C`

Jadi, `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= x+In |x+2| +4 In|x-4|+C`

4.  Tentukan `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

Karena integran diatas bukan  fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom  lebih besar dari pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:

 `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

`=\int 2x-1 -\frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`=\int 2x dx-\int 1 dx -` `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`= x^2-x +C - \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`\int\frac{-2x-8}{(x+2)(x-2)} = \int \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-2)} dx`

                                   `=\int \frac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)} dx`

                                   `=\int \frac{(Ax-2A)(Bx+2B)} {(x+2)(x-2)} dx`

                                   `=\int \frac{(A+B)x +(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)} dx`

Sehingga diperoleh:

      `A+B= -2`

     ` -2A+2B= -8`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai  `A= 1` dan `B= -3`

`\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx``= \int \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} dx`

                        `= \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{3}{x-2} dx`

                        `= In |x+2|- 3 In|x-2|+C`

Jadi, `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

`= x^2 -x +In |x+2|- 3 In|x-2|+C`

Sekian materi mengenai integral fungsi rasional linear, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More

INTEGRAL TAK TENTU - INTEGRAL PARSIAL

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai metode parsial pada integral tak tentu. 

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana `u = f(x)` dan `v = g(x).` Karena `y = u.v`, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi  `y = uv` diperoleh:

`dy=d(uv)`

`d(uv)=udv+vdu`

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:

`\int d(uv)=\int udv+\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=\int d(uv)-\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=uv-\int vdu`

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integral yang berbentuk `uv` di manipulasi menjadi `u dv` dan dalam menentukan `udv` tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan `int` tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1.  Tentukan `\int 3x e^{2x} dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u=3x, du= 3` 

                  `dv=e^{2x} dx , v= \int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int 3x e^{2x} dx= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. d(3x)`

                   `= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. 3` `dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{2}\int e^{2x}dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} . \frac{e^{2x}}{2}  +C`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x}  +C`

2.  Tentukan `\int x cos 2x` `dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= x, du= 1 dx`

                 `dv= cos 2x, v= \int cos 2x``dx=  \frac{sin 2x}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int x cos 2x= x.\frac{sin 2x}{2} - \int \frac{sin 2x}{2} dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} - \frac{1}{2} \int sin 2x` `dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{1}{2}\frac{cos 2x}{2}+C`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{cos 2x}{4}+C`

3. Tentukan `\int x \sqrt{x+2}``dx`

Penyelesaian:

Misalnya: `u=x, du= 1 dx`

                   `dv= \sqrt{x+2} dx, v= \int \sqrt{x+2}= \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`int x \sqrt{x+2}``dx= x.\frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} dx`

                         ` = \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{3} \frac{(x+2)^{\frac{5}{2}}}{frac{5}{2}}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{5}{2}}- \frac{2}{3}.\frac{2}{5}(x+2)^ \frac{5}{2}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3} {2}}- \frac{4}{15}(x+2)^{\frac{5}{2}+C`

                         

Sekian materi mengenai integral parsial, semoga teman-teman semakin paham yaa. 

                   

Read More

INTEGRAL SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Halo teman-teman,

Setelah pembahasan mengenai integral fungsi trigonometri , pada artikel ini kita akan membahas mengenai teknik substitusi pada integral fungsi trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk 

`•\sqrt{a^2-x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2-a^2}, a>0, a` € Real

Atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya:

•`\sqrt{a^2-b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2-x^2}`
•`\sqrt{a^2+b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2+x^2}`
•`\sqrt{a^2 x^2 - b^2}=\sqrt{(x^2-\frac{b}{a})^2}` atau `\int \sqrt{ax^2+bx+c}` dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integrannya diantaranya:

1. `\sqrt{a^2-x^2}` gunakan substitusi

     `x=a sin t` atau `sin t=\frac{x}{a}`

     `x=a sin t``\Leftrightarrow dx= a cos t``dt`

     Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:

     `\sqrt{a^2 -x^2}= \sqrt{a^2-(a sin t)^2}`

                         `= \sqrt{a^2(1-sin^2 t)}`

                         `= a cos t`

2.  `\sqrt{a^2+x^2}` gunakan substitusi

     `x=a tan t` atau `tan t=\frac{x}{a}`

     `x=a tan t``\Leftrightarrow dx= a sec^2 t``dt`

     Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:

     `\sqrt{a^2 +x^2}= \sqrt{a^2+(a tan t)^2}`

                         `= \sqrt{a^2(1-tan^2 t)}`

                         `= a sec t`

3.  `\sqrt{x^2-a^2}` gunakan substitusi

     `x=a sec t` atau `sec t=\frac{x}{a}`

     `x=a sec t``\Leftrightarrow dx= a sec t tan t``dt`

     Dengan `0≤t<\frac{π}{2};(x≥a)` dan`\frac{π}{2}≤t≤π; (x≤a)` sehingga:

     `\sqrt{x^2 +a^2}= \sqrt{(a sec t)^2 a^2}`

                         `= \sqrt{a^2sin^2 t-a^2)}`

                         `= a tan t`

Catatan:

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu `cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t`.Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh soal:

1. Tentukan `int \sqrt{16-x^2}`

Penyelesaian:

Substitusikan `x= 4 sin t \Rightarrow sin t =\frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow dx= 4 cos t``dt`

`\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-16sin^2 t}`

                    `=\sqrt{16(1-sin^2 t)}`

                    `=4 cos t`

Sehingga:

`int \sqrt{16-x^2}dx``= \int 4 cos t(4 cos t dt)`

              `=16\int cos t.cos t` `dt`

              `= 16 \int cos^2 t dt`

              `=16 \int \frac{1+cos 2t}{2}dt`

              `=8 \int(1+cos 2t)dt`

              `= 8\int dt + 8\int cos 2t` `dt`

              `=8t + 4 sin 2t +C`

              `= 8t+8 Sin t cos t +C`

              `= 8 arcsin \frac{x}{4}+ 8(\frac{x}{4})(\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}) +C`

              `= 8 arcsin \frac{x}{4}+(\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2})+C`

 

2. Tentukan `\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

Penyelesaian:

`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

Substitusikan`x= 4 tan \Rightarrow tan t= \frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow d(x)= 4 sec^2 t` `dt`

`\sqrt {16+x^2}=\sqrt{16 + (4 tan t )^2}`

                    `=\sqrt{16 (1+ tan^2 t)}`

                    `=4sec t`

Sehingga`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

           `= \int \frac{4sec^2 t dt}{4 sec t}`C`

           `=\int sec t` `dt`

           `=In | sec t+tan t| +C`

           `=In|\frac{\sqrt{16+x^2}}{4}+\frac{x}{4}|+C`

3. Tentukan `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`

Penyelesaian:

Substitusikan `x=5 sec t \Rightarrow sec t =\frac{x}{5}`

`\Leftrightarrow dx= 5 sec t tan t` `dt`

`\sqrt{x^2- 25} = \sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`

                    `=\sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`

                    `= \sqrt{5 tan t}`

Sehingga: `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`

                `=\int \frac{5tan t}{5 sec t}  (5sec t tan t dt)`

                `=\int \frac{25 sec t tan t+ tan^2 t}{5 sec t} dt`

                `= 5\int tan^2 t` `dt`

                `= 5 \int (sec^2 t-1) dt`

                `= 5 tan t -5t+c`

                `= 5 \frac{\sqrt{x^2-25}}{5}-5 arcsec \frac{x}{5} +C`

Sekian materi pada artikel ini, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More

METODE SUBSTITUSI -INTEGRAL TAK TENTU

Halo guys, setelah pembahasan mengenai integral tak tentu, kali ini kita akan membahas salah satu metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu yaitu metode substitusi. 

Teknik substitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubstitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `u`. Untuk menentukan `\int f(x) dx` kita dapat mensubstitusikan `u=g(x)` dan `du=g^'(x)dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. 

Teorema aturan substitusi yaitu:

Jika `u=g(x)` adalah fungsi yang terdiferensiasikan dengan daerah hasilnya adalah interval I dan `f` kontinu pada I maka :

`\intf(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du`

Metode substitusi untuk menghitung `\intf(g(x))g'(x)dx`:

1. Substitusikan `u=g(x)` dan `du=(du/dx)dx=g^'(x)dx` untuk memperoleh `\int f(u)du`
2. Integrasikan terhadap `u`
3. Gantikan `u` dengan `g(x)`

Contoh:

1.Tentukan `\int (x^2 +7x)^5(5x^3 +2)dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= (x^2+7x)`, maka `du= (5x^3 +2)dx` sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`= \int (x^2+7x)^5 (5x^3+2) dx`

`= \int (u)^5 du`

`= \frac {1}{6} (u)^6 +C`

`= \frac {1}{6} (x^2+7x)^6+ C`

2. Tentukan `\int (2x+12)^8 dx`

Penyelesaian:

• Misalnya `u =2x+12`

•`d(u)= d(2x+12)`

• `du= 2dx`

•`dx=\frac{du}{2}`

Sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

 `\int (2x+12)^8 dx=` `\int u^8 \frac{du}{3}`

`=\frac{1}{3} \int u^8 du`

`=\frac{1}{3} (\frac {u^9}{9}) +C`

`= \frac{1}{27} u^9 + C`

`=\frac{(2x+12)^9}{27}+C`

3. Tentukan `\int \sqrt{5-3x} dx`

Penyelesaian:

Misal `u=5-3x` maka `du=-3x`, `dx= -\frac{1}{3} du`

Dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \sqrt{5-3x}`

`=\int \sqrt{u}(-\frac{1}{3}du)`

`=\int u^{\frac{1}{2}}(-\frac{1}{3})du`

`=\int -\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du`

`=-\frac{1}{3}\times\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} +C`

`=-\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} u^\frac{3}{2}+C`

`=-\frac{2}{9}u^\frac{3}{2}+C`

`=-\frac{2}{9}(5-3x)\sqrt{5-3x}+C`

4. Tentukan`\int \sqrt{5x^2+2x} (5x+1)dx`

penyelesaian:

• Misalnya `u=\sqrt{5x^2 +2x}`

• `u^2= 5x^2+2x`

•`d(u^2)=d(5x^2+2x)`

•`2u` `du``=``10x+2`

•`2u` `du``=``2(5x+1)dx`

•`u` `du``=``(5x+1)dx`

Sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \sqrt{5x^2+2x} (5x+1)dx`   

`=\int u` `udu`

`=\int u^2 du`

`=\int \frac{1}{3} u^3 +C`

`=\int \frac{1}{3} (5x^2+2x) \sqrt{5x^2+2x}+C`

5. Tentukan `\int \frac{r}{\sqrt{3r+5}} dr`

Penyelesaian:

• Misalnya`u=\sqrt{3r+5}`

• `u^2=3r+5`

• `d(u^2)=d(3r+5)`

• `2u` `du` = 3 dr`

• `dr=\frac{2}{3} u` `dr`

Karena `u^2 =3r+5` maka `r=\frac{u^2-5}{3}` sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \frac{r}{\sqrt{3r+5}} dr`

`=\int \frac{\frac{u^2-5}{3}}{u}\times\frac{2u du}{3}`

`=\int \frac{u^2-5}{3u} \times \frac{2u du}{5}`

`=\int \frac{2(u^2-5)}{15} du`

`=\frac{2}{15}\int(u^2-5)du`

`=\frac{2}{15}(\int u^2du-\int 5 du)`

`=\frac{2}{15}(\frac{u^3}{3}-5u) +C`

`=\frac{2}{45} u^3-\frac{10}{15}u +C`

`=\frac{2}{45} (3r-5) (\sqrt{3r-5})-\frac{10}{15}(\sqrt{3r-5})+C`

Nah, sekian penjelasan singkat mengenai metode substitusi pada integral tak tentu. Semoga teman-teman makin paham yaa.

Read More

INTEGRAL TAK TENTU

Halo teman-teman, pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai materi dan contoh soal mengenai integral tak tentu. Yuk langsung simak materinya.

A.Definisi

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral yaitu integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu dan integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Integral tak tentu merupakan suatu fungsi baru yang turunannya sama seperti fungsi aslinya. Jenis integral ini tidak memiliki batas dan belum mempunyai nilai yang jelas. Nilai yang belum jelas ini dilambangkan dengan konstanta (C). Sedangkan, lambang integral tak tentu tidak mempunyai batas atas dan batas bawah.

`\int f(x)dx= F(x)+C`

Keterangan:
`\int f ( x ) =` Notasi integral tak tentu
`f ( x ) + C= ` Fungsi anti turunan
`f(x)=` Fungsi yang di integralkan (integran)
`C=` Konstanta
`d(x)=` Differensial (turunan) dari `x`

B. Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Misalnya `f(x)` dan `g(x)` masing - masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real maka:

• `\int dx=x+C`
•`\int kdx= kx+C`
•`\int (f(x)±g(x))dx= \int f(x) dx±\int g(x)dx`
• `\int k f(x)dx= k \int f(x)dx`
• Dalam kasus n ≠ -1, maka:
a.`\int x^n dx=\frac{1}{n+1} x^{n+1} +C`
b. `\int kx^n dx=\frac{k}{n+1} x^{n+1} +C`

Contoh:
Carilah anti turunan dari:
1. `\int 3 dx=3x+C`
2. `\int x^5 dx=\frac{1}{5+1}x^{5+1} + C`
`= \frac{1}{6}x^6 +C`
3. `\int 5x^4+3x^2-6x`
= `\int 5 x ^ 4 + \int 3 x ^ 2 - \int 6 x`
= `5 \int x^{ 4 }dx + 3\int x^2 + 6\int x dx`
= `5\frac{1}{5}x^5 +C_{1} + 3\frac{1}{3}x^3 + C_{2} - 6\frac{1}{2}x^2 + C_{3}`
= `\int x^5 + x^3 + 3x^2 + C`

C. Aturan Pangkat Yang Diperumum
Misalkan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan r suatu bilamgan rasional yang ≠ -1, maka:

`\int (g(x))^{n}.g'(x) dx=\frac{g(x)^{n+1}}{n+1} +C`

Jika dimisalkan `u=g(x)`, maka `\frac{du}{dx}` = `g'(x)` atau `du=g'(x)dx` , sehingga bentuk diatas dapat diperoleh:

`\int u^n du=\frac{u^{n+1}}{n+1} +C,n≠1`

Contoh:
1. Selesaikan `\int (x^3 +5x)^8(2x^5 +3)dx`
Penyelesaian:
Misalnya `u= (x^3+5x)`, maka `du= (2x^5 +2)dx` sehingga:
= `\int (x^3+5x)^8 (2x^5+3) dx`
= `\int (u)^8 du`
= `\frac {1}{9} (u)^9 +C`
= `\frac {1}{9} (x^3 +5x)^9 + C`

D. Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Dari Turunan Fungsi Trigonometri
`\frac{d}{dx}( sin x )= cos x, \frac{d}{dx} ( cosx)=-sin x, dan \frac{d}{dx} (tan x)=sec^{2}x`
maka anti turunannya adalah:

• `\int cos x= sin x + C`
•`\int sin x=-cos x + C`
• `\int sec^2 x = tan x+C`
•`\int cos^{n} x sin xdx= -\frac{cos ^{n+1}x}{n+1}+C, n≠-1`
• `\int sin^{n} x cos xdx= \frac{sin ^{n+1}x}{n+1}+C, n≠-1`

Dengan aturan rantai yang digunakan pada fungsi trigonometri, diperoleh rumus-rumus sebagai berikut:
Misalkan `u=g(x)` maka `du=g'(x)dx` sehingga:
`\int (cos u) du = sin u+ C, \int (sin u) du =-cos u + C, dan \int (sec^2 u) du = tan u +C`

Contoh:
1. Hitunglah `\int cos 2x dx`
Penyelesaian:
Misalkan `u=2x` maka `du=2` atau `dx=\frac{1}{2} du` sehingga:
`\int 2x dx`= `\int cos u \frac{du}{2}`
= `\frac{1}{2} \int (cos u) du`
= `\frac{1}{2} (sin u) + C`
= `\frac {1}{2} sin 5x+C`

2. Hitunglah `\sin^2 4x cos x dx`
Penyelesaian:
Misalkan `u= sin 4x`, maka `du= cos x dx` sehingga:

`\int sin^2 4x cos x dx`= `\int u^2 du`
= `\frac{1}{3} u^3 +C`
= `\frac{1}{3} sin^3 4x +C`

Nah, sekian penjelasan singkat mengenai integral tak tentu. Semoga teman-teman makin paham yaa.

Read More