INTEGRAL TAK TENTU - INTEGRAL PARSIAL

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai metode parsial pada integral tak tentu. 

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana `u = f(x)` dan `v = g(x).` Karena `y = u.v`, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi  `y = uv` diperoleh:

`dy=d(uv)`

`d(uv)=udv+vdu`

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:

`\int d(uv)=\int udv+\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=\int d(uv)-\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=uv-\int vdu`

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integral yang berbentuk `uv` di manipulasi menjadi `u dv` dan dalam menentukan `udv` tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan `int` tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1.  Tentukan `\int 3x e^{2x} dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u=3x, du= 3` 

                  `dv=e^{2x} dx , v= \int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int 3x e^{2x} dx= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. d(3x)`

                   `= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. 3` `dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{2}\int e^{2x}dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} . \frac{e^{2x}}{2}  +C`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x}  +C`

2.  Tentukan `\int x cos 2x` `dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= x, du= 1 dx`

                 `dv= cos 2x, v= \int cos 2x``dx=  \frac{sin 2x}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int x cos 2x= x.\frac{sin 2x}{2} - \int \frac{sin 2x}{2} dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} - \frac{1}{2} \int sin 2x` `dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{1}{2}\frac{cos 2x}{2}+C`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{cos 2x}{4}+C`

3. Tentukan `\int x \sqrt{x+2}``dx`

Penyelesaian:

Misalnya: `u=x, du= 1 dx`

                   `dv= \sqrt{x+2} dx, v= \int \sqrt{x+2}= \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`int x \sqrt{x+2}``dx= x.\frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} dx`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{3} \frac{(x+2)^{\frac{5}{2}}}{frac{5}{2}}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{5}{2}}- \frac{2}{3}.\frac{2}{5}(x+2)^ \frac{5}{2}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3} {2}}- \frac{4}{15}(x+2)^{\frac{5}{2}+C`

                         

Sekian materi mengenai integral parsial, semoga teman-teman semakin paham yaa.