TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI UNTUK PEMBELAJARAN DAN PENGEMBANGAN DIRI

Assalamualaikum Wr.Wb

Halo teman-teman, Pada artikel ini kita akan membahas Teknologi Informasi dan Komunikasi untuk pembelajaran dan Pengembangan Diri .

Perkembangan teknologi sangat mempengaruhi perkembangan proses pembelajaran terutama dalam sistem penyampaian melalui pemanfaatan beragam media generasi baru. Dukungan teknologi memungkinkan aktivitas pembelajaran otentik. Meskipun dimediasi menggunakan teknologi. Teknologi dapat memfasilitasi proses belajar apabila pendidik memiliki paket pengetahuan dalam integrasi teknologi. Proses pembelajaran abad XXI akan banyak memanfaatkan media pembelajaran berbasis teknologi informasi dan komunikasi seperti web base learning, e-learning, multimedia interaktif, hypermedia, virtual reality, dan sebagainya. Guru tidak cukup menjadi professional teaching, namun professional learning yang terus mengembangkan diri dan orientasinya agar siswa menjadi professional learning. 

Teknologi informasi dalam bidang pendidikan sangat mempengaruhi perkembangan pendidikan, baik proses pembelajarannya maupun dalam penyusunan kurikulum, apalagi dalam membangun sarana dan prasarana pendidikan yang memadai sehingga tujuan pendidikan itu sendiri dapat mudah terlaksana. Kapasitas untuk membangun jaringan tanpa batas merupakan kemungkinan pembelajaran inovatif yang setara di seluruh wilayah dan negara. Kemampuan siswa memanfaatkan teknologi informasi sudah menjadi kebutuhan baru untuk sistemn pendidikan yang efektif.

Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 16 Tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru, pada kompetensi profesional disebutkan bahwa guru harus memanfaatkan TIK untuk kepentingan pembelajaran serta guru juga harus mampu memanfaatkan TIK untuk berkomunikasi dan mengembangkan diri. Proses pemanfaatan teknologi informasi dan komunikasi dalam hal pengembangan diri  dapat dilakukan dengan beberapa cara yakni pengembangan diri secara mandiri melalui media internet dan youtube. Sedangkan pengembangan diri melalui pelatihan online (webinar dan seminar) melalui via meet dan zoom hal ini dilakukan guna untuk meningkatkan wawasan, skill, dan kompetensi guru. 

Manfaat Teknologi Informasi dan Komunikasi (TIK)

Manfaat TI dapat dirasakan oleh semua pihak yang berkepentingan, yaitu mencakup tenaga pengajar, peserta didik, serta lembaga pendidikan formal maupun non formal. Berikut adalah beberapa manfaat TI bagi insan pendidikan:

1. Menyediakan Media Pembelajaran Bervariasi
   Dalam praktik pembelajaran konvensional, kegiatan belajar mengajar (KBM) umumnya hanya mengandalkan buku bacaan atau media tekstual lain seperti lembar kerja atau lembar fotokopi.  Pemanfaatan teknologi mampu melayani kegiatan belajar mengajar secara lebih canggih dengan menyediakan media pembelajaran yang bervariasi. Sebagai contoh, media audio dan video yang ditampilkan melalui komputer, layar LCD, tablet, atau handphone.  Kehadiran teknologi virtual reality (VR) menawarkan pembelajaran yang semakin canggih. Kegiatan belajar mengajar dengan virtual reality memberikan pengalaman belajar baru yang lebih nyata sehingga mampu memberikan pemahaman lebih bagi siswa. 
   
   
2. Mengakses Materi Tanpa Batas
   Dahulu kita hanya bisa mengandalkan buku dalam mencari materi untuk mendalami pelajaran tertentu. Selain itu, buku-buku di perpustakaan sekolah dapat menyediakan informasi tambahan. Sayangnya jumlahnya sangat terbatas. Internet membantu memberikan akses tidak terbatas kepada siswa dan mahasiswa untuk menggali materi dari berbagai sumber. Aksesibilitas yang luas adalah dukungan penting untuk pemenuhan rasa ingin tahu. Sementara itu, pengajar tidak hanya berpegangan pada materi dari buku terbitan lama. Akan tetapi dapat menyajikan data dan informasi baru sehingga terhubung dengan perkembangan ilmu pengetahuan terkini. 
   
   
3. Materi Pembelajaran Lebih Menarik
   Variasi media pembelajaran perlu didukung oleh penyajian materi yang menarik. Siswa/mahasiswa mungkin terlalu jenuh dengan materi yang terlalu teoritis sehingga mereka tidak mendapatkan pemahaman yang riil. Dengan memanfaatkan teknologi informasi, pengajar dapat menyajikan materi-materi yang lebih menarik. Misalnya memberikan konteks yang jelas dan relevan sehingga pembelajar mendapatkan pemahaman secara komprehensif. 
   
   
4. Metode Mengajar Tidak Monoton
   Manfaat teknologi informasi berikutnya adalah membantu pengajar menemukan berbagai metode mengajar yang lebih segar. Audio dan video berisi materi pembelajaran hingga software e-learning terbukti memberikan angin segar untuk metode pengajaran. 
   
   
5. Fleksibilitas Aktivitas Belajar
   Pemanfaatan komputer atau handphone yang diperkuat internet memungkinkan aktivitas belajar dapat berlangsung secara fleksibel. Pendidik dan peserta didik dapat melaksanakan kegiatan belajar mengajar secara online dan real time dari mana saja. Aktivitas belajar juga dapat dilakukan tanpa terikat waktu. Dengan dukungan teknologi pengambilan dan penyimpanan yang tersemat dalam komputer, handphone, atau tablet, peserta didik dapat melanjutkan aktivitas belajarnya kapan saja. 
   
   
6. Meningkatkan Minat Belajar
   Penyajian materi secara beragam yang sejalan dengan metode pembelajaran variatif adalah modal penting untuk menunjang minat belajar pada peserta didik. Dengan kegiatan belajar menyenangkan, mereka cenderung lebih menikmati proses pembelajaran. 
   
   
7. Meningkatkan Kualitas Pendidikan
   Teknologi informasi menjadi sarana penting untuk menunjang faktor-faktor pendidikan dari hulu ke hilir. Mulai dari metode pembelajaran, media pembelajaran, kualitas sumber daya manusia, hingga menciptakan lingkungan dan suasana akademik yang mendukung.  Pemanfaatan TI secara optimal dan strategis menjadi faktor penting meningkatnya kualitas pendidikan di era digital dan globalisasi. 

Referensi: 

W A., H A., & S M. (2021). PEMANFAATAN TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI (TIK) GURU DI SMP NEGERI SATAP 9 BARRU. EDUSTUDENT: Jurnal Ilmiah Pendidikan dan Pengembangan Pembelajaran. http://eprints.unm.ac.id/33202/

H K. (2022, September 12). Pemanfaatan Teknologi Informasi dalam Pendidikan masa Kini. SEVIMA | Educational Platform for Universities. https://sevima.com/pemanfaatan-teknologi-informasi-dalam-pendidikan-masa-kini/

P.(nd). Teknologi untuk Pengembangan media & Pembelajaran . tidak tertekan. https://unypress.uny.ac.id/buku/teknologi-untuk-pengembangan-media-pembelajaran

Read More

PEMBELAJARAN YANG MENDIDIK DAN TINDAKAN REFLEKTIF UNTUK PENINGKATAN KUALITAS PEMBELAJARAN

Assalamualaikum Wr. Wb

Halo teman-teman, Pada artikel ini kita akan membahas bagaimana sih pembelajaran yang mendidik dan tindakan reflektif untuk peningkatan kualitas pembelajaran 

Pembelajaran Yang Mendidik

Paradigma pembelajaran yang mendidik yaitu pembelajaran yang membuahkan bukan saja dasar-dasar penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi, melainkan juga sekaligus menumbuhkan karakter yang kuat serta penguasaan kecakapan hidup (soft skills), sehingga tampil sebagai manusia yang penuh kasih terhadap sesama (compassion) serta menjunjung tinggi etika di samping trengginas dalam bekerja (Raka Joni, 2006).

Kemampuan menyelenggarakan pembelajaran yang mendidik tidak terbatas pada penerusan informasi (content transmission) sebagaimana yang selama ini banyak dilakukan di dalam praktik-praktik pebelajaran di tanah air, melainkan terutama berupa penyediaan lingkungan pembelajaran yang memfasilitasi pembentukan kemampuan yang utuh dalam diri peserta didik. Untuk itu, kemampuan-kemampuan dan kompetensi yang diharapkan dikuasai oleh peserta didik perlu dimodifikasi menjadi (Raka Joni, 2006):  

1. Pengetahuan pemahaman yang diperoleh melalui pengkajian yang dilakukan dalam berbagai bentuk dan konteks. 
2. Ketrampilan baik kognitif dan personal-sosial serta psikomotorik yang diperoleh melalui latihan. 
3. Sikap dan nilai serta kebiasaan yang diperoleh melalui penghayatan, keterlibatan dan/atau partisipasi aktif dalam peristiwa serta kegiatan yang sarat nilai, sehingga bermuara kepada terbangunya karakter, atau lingkungan belajar yang menggiring peserta didik bukan saja untuk menjawab pertanyaan (answering questions) melainkan juga mempertanyakan jawaban baik yang diajukan oleh rekan-rekannya maupun ditemukannya sendiri, bahkan secara lebih mendasar juga mempertanyakan pertanyaan-pertanyaan atau permasalahan yang tengah dibahas. Dengan memfasilitasi peserta didik untuk memperoleh dan mengintegrasikan pengetahuan (acquiring and integrating knowledge), memperluas cakupan serta meningkatkan kecermatan pengetahuan (expanding and refining knowledge) dan menerapkan pengetahuan secara bermakna (applying knowledge meaningfully) akan mampu mengembangkan cara berpikir yang produktif.  
4. Sedangkan penetapan besaran beban studi dalam kurikulum dilakukan dengan menjabarkan pengalaman belajar yang dipersyaratkan untuk memfasilitasi pembentukan kemampuan yang akan dicapai berdasarkan kerangka pikir yang digunakan dalam merancang kegiatan pembelajaran dengan sistem SKS yaitu teori, praktik dan tugas lapangan ditinjau dari bentuk kegiatannya, serta kegiatan terjadwal, tugas tersetruktur, dan kegiatan mandiri dari segi keterawasannya. 

Secara lebih rinci, kemampuan menyelenggarakan pembelajaran yang mendidik terdiri atas sub-sub kemampuan: 

1. Merancang program pembelajaran yang memfasilitasi penumbuhan karakter serta soft skills di samping pembentukan hard skills baik yang terbentuk sebagai dampak langsung dari tindakan pembelajaran (instructional effects) maupun sebagai dampak tidak langsung dari akumulasi pengalaman belajar yang dihayati oleh peserta didik sepanjang rentang proses pembelajaran atau dampak pengiring (nurturant effects) kesemuanya berdasarkan pada pertimbangan-pertimbangan situasional. 
2. Mengimplementasikan program pembelajaran dengan kewaspadaan penuh (informed responsiveness) terhadap peluang untuk menjadikan optimasi antara pemanfaatan dampak instruksional dan dampak pengiring pembelajaran yang dibingkai dengan wawasan kependidikan sebagai asas pengendali. Semua ini demi tercapainya tujuan utuh pendidikan. 
3. Mengases hasil dan proses pembelajaran yang tercapai baik sebagai dampak langsung maupun dampak pengiring proses pembelajaran dalam konteks tujuan utuh pendidikan. 
4. Memanfaatkan hasil asesmen terhadap proses dan hasil pembelajaran untuk perbaikan pengelolaan pembelajaran secara berkelanjutan baik mlalui tindakan remidi maupun pengayaan. 

TINDAKAN REFLEKTIF UNTUK PENINGKATAN KUALITAS PEMBELAJARAN

Salah satu kompetensi pedagogik yang harus dilakukan guru adalah melakukan tindakan reflektif. Tindakan reflektif adalah tindakan pemberian umpan balik kepada siswa tentang materi dan proses pembelajaran yang telah dilakukan. Tindakan reflektif dilakukan untuk mengevaluasi kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan. Selain untuk mengetahui kemampuan siswa, kegiatan reflektif dilakukan juga untuk mengevaluasi kinerja guru, menganalisis kesulitan belajar siswa, dan memperbaiki proses pembelajaran. Dengan adanya tindakan reflektif, guru akan mengatahui kekurangan-kekurangannya dalam pembelajaran dan mencari solusi yang tepat untuk meningkatkan kualitas pembelajaran.

Guru Efektif adalah guru yang mau dan mampu mendayagunakan (empowering) seluruh kemampuan dan potensi yang ada pada dirinya, peserta didiknya dan lingkungan belajarnya. Tidak hanya itu, ia juga harus mampu menciptakan proses belajar mengajar yang efektif. Proses ini adalah suatu proses pembelajaran yang dapat memberikan hasil belajar maksimal berupa penguasaan pengetahuan, kemampuan, sikap dan keterampilan kepada peserta didik sesuai dengan tujuan pembelajaran yang telah ditetapkan (Nazarudin Rahman dalam Priyatno, 2009).

Menjadi guru efektif yang mampu menciptakan proses belajar mengajar yang efektif tidaklah mudah, dibutuhkan tekad dan kemauan yang kuat yang timbul dari dalam diri seorang guru untuk terus meningkatkan kemampuannya dan kompetensinya. Harus ada kesadaran yang muncul dari seorang guru untuk terus mau meningkatkan profesionalismenya dalam melakukan proses belajar mengajar di kelas. Senantiasa memperbaiki metode dan strategi belajar mengajarnya di dalam kelas, yang sesuai dengan dengan tingkat kemampuan dan latar belakang peserta didiknya. Dengan memilih pembelajaran yang berpusat pada siswa, maka peranan guru hanya sebagai motivator atau moderator guna mencapai tujuan pembelajaran yang telah ditetapkan dapat tercapai secara maksimal.

Melakukan tindakan reflektif untuk peningkatan kualitas pembelajaran, kompetensi ini mencakup kemampuan guru sebagai berikut: 

• Melakukan refleksi terhadap pembelajaran yang telah dilaksanakan. 
• Memanfaatkan hasil refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran dalam mata pelajaran yang diampu. 
• Melakukan penelitian tindakan kelas untuk meningkatkan kualitas pembelajaran dalam mata pelajaran yang diampu. 

Meskipun banyak guru merasa tidak banyak memiliki banyak waktu untuk melakukan refleksi dan menganggapnya membuang-buang waktu, dengan melakukan refleksi dalam menjalani profesinya guru akan mendapatkan keuntungan. Beberapa diantaranya adalah: 

1. Dapat membantu mencapai pemahaman yang lebih baik tentang berbagai asumsi tentang mengajar dan pemahaman tentang pelaksanaannya,
2. Dapat memperkaya pemahaman konsep tentang megajar dan proses belajar mengajar, 
3. Menjadi dasar untuk self-evaluation yang merupakan komponen penting dalam pengembangan profesionalitas (Richards & Lockhart, 1996: 2). 

McKay (2002: 5) menambahkan beberapa keuntungan lainnya, yaitu: 

1. Memberikan kesempatan kepada guru untuk lebih kreatif karena tidak tergantung kepada rutinitas mengajar yang hanya mengandalkan pengalaman mengajar sebelumnya dan tidak menyesuaikan dengan perubahan kondisi kelas, 
2. Mengajar lebih terarah dan tidak terburu-buru karena apa yang sudah dilakukan dikaji ulang dan diambil rencana yang lebih baik, dan  
3. Dengan selalu melakukan refleksi maka guru akan selalu mempertimbangkan faktor-faktor terkait dalam proses pembelajaran, seperti karakteristik siswa, minat mereka, dan kurikulum, sehingga akan menghasilkan kelas yang lebih efekti

Kesimpulan:

Refleksi diri adalah bagian penting dari proses pembelajaran yang sebaiknya dilaksanakan oleh seorang guru. Dengan melaksanakan kegiatan reflektif, guru akan mengetahui kekurangan-kekurangannya sehingga dapat mencari solusi yang tepat untuk memperbaiki kekurangan-kekurangan tersebut sehingga dapat meningkatkan kualitas pembelajaran. Salah satu cara yang dapat dilakukan dalam kegiatan reflektif adalah membuat jurnal refleksi. Dengan menulis jurnal refleksi pembelajaran guru akan merekam pengalamannya selama mengajar. Sebagai agen pembelajaran, guru perlu membiasakan diri untuk menulis jurnal refleksi pembelajaran.Sesungguhnya jurnal refleksi pembelajaran yang dibuat oleh guru dapat menjadi sarana untuk memperbaiki kualitas pembelajaran di kelas, bila dilakukan secara terus-menerus dapat berujung pada peningkatan profesionalisme guru.

Referensi:

Zulfa, LA (2017). PROBLEMATIKA DALAM MELAKUKAN TINDAKAN REFLEKTIF UNTUK PENINGKATAN KUALITAS PEMBELAJARAN BAHASA INDONESIA. PENDIDIKAN . https://ejournal.unwaha.ac.id/index.php/eduscope/article/view/186

DP (2012). PENGAJARAN REFLEKTIF SEBAGAI UPAYA PENINGKATAN KUALITAS PENDIDIKAN DAN PROFESIONALISME GURU. Jurnal manajemen Pendidikan . https://media.neliti.com/media/publications/111958-ID-pengajaran-reflektif-sebagai-upaya-penin.pdf

Budiningsih, C.A.(nd). PEMBELAJARAN YANG MENDIDIK. https://eprints.uny.ac.id/626/1/PEMBELAJARAN_YANG_MENDIDIK.pdf

Read More

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri.Integral fungsi trigonometri yaitu kebalikan dari turunan trigonometri. Di mana, integral tersebut juga memuat fungsi trigonometri. 

Sebelum membahas lebih rinci mengenai teknik integral fungsi trigonometri, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

`•\int sin xdx=-cosx +C`
`•\int cos x dx= sin x+ C`
`•\int tan x dx= In|sec x|+C=-In |cos x| + C`
`•\int csc x dx= In|csc x-cot x|+ C`
`•\int sec x dx= In|sec x+tan x|+C`
`•\int cot x dx= -In|sec x|+C=-In |sin x| + C`

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. `\int sin^m x dx` dan `\int cos^m x dx` dengan `m` bilangan ganjil atau genap positif

• Jika m bulat positif  ganjil, maka m diubah menjadi `(m-1)+1`, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas `sin^2 x + cos^2 x=1`

• Jika m bilangan bulat positif genap, selesaiannya dapat dilakukan dengn menggunakan identitas: `sin^2 x=\frac{1-cos 2x}{2}` dan ` cos^2 x= \frac{1+cos 2x}{2}`

Contoh:

1. Tentukan`\int cos^5 x dx`

Penyelesaian:

`\int cos^5 x dx`

`=\int cos^4 x` `cos x` `dx`

`=\int (cos^2 x)^2` `cos x` `dx`

`=\int  (1-sin ^2x)^2` `d(sin x)`

`=\int (1-2sin^2 x + sin^4 x)` `d(sin x)`

`=\int 1``d(sin x)- 2\int sin^2 x``d(sin x) + sin^4x``d(sin x)`

`=Sin x-\frac{2}{3} sin^3 x + \frac{1}{5} sin^5 x`

2. Tentukan `\int sin^4 x dx`

Penyelesaian:

`\int sin^4 x dx`

`=\int (sin^2 x)^2 dx`

`=\int (\frac{1-cos2x}{2})^2 dx`

`=\int (\frac{1-2cos2x+ cos^2 2x}{4})dx`

`=\int \frac{1}{4} dx-\int\frac{cos 2x}{2}dx+\int \frac{cos^2 2x}{4} dx`

`=\int \frac{1}{4}dx-\int \frac{sin2x}{4}dx+\frac{1}{4}\int cos^2 (2x) dx`

`=\frac{x}{4}-\frac{sin 2x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{sin 4x}{32}+C`

`=\frac{3x}{8}-\frac{sin 2x}{4}+ \frac{sin 4x}{32}+C`

B. `\int sin^m  x cos^m x dx`

Jika `m` atau `n` bilangan bulat positif ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maja faktorkan ` sin x` atau `cos x` dengan menggunakan kesamaan identitas `sin^2 x+cos^2x=1`.

Contoh:

1. Selesaikan `\int sin^2 x cos^5 x`

Penyelesaian:

`=\int sin^2 x cos^5 x`

`=\int sin^2x(cos^2 x)^2cos x dx`

`=\int sin^2x(1-sin^2x)^2 d(sin x)`

`=\int sin^2 x(1-2sin^2 x+sin^4 x) d (sin x)`

`=\int (sin^2 x-2 sin^4 x+sin^6 x)d(sinx)`

`=\int sin^2 xd(sin x)-\int 2 sin^4xd(sinx) + \int sin^6 x d(sin x)`

Misalnya:  `u=sinx`, maka:

`=\int u^2 du-\int 2u^4 du +\int u^6 du`

`=\frac{1}{3}u^3 - 2\frac{1}{5} u^5 + \frac{1}{7}u^7+C`

`=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{2}{5} sin^5x +\frac{1}{7} sin^7 x+C`

2. Selesaikan `\int sin^2 x cos^4 x`

Penyelesaian:

`=\int sin^2 x cos^4 x`

`=\int` `[(\frac{1-cos 2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})^2]dx`

`=\frac{1}{8}\int` `[(1-cos2x)(1+2cos2x+cos^2 2x)] dx`

`=\frac{1}{8}\int[ 1(1+2cos2x+cos^2 2x)-cos2x(1+2cos2x+cos^2 2x) ]`

`dx` 

`=\frac{1}{8}\int[1+2cos2x+cos^2 2x-cos2x-2 cos^2 2x-cos^3 2x] dx`

`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-cos^2 2x- cos^3 2x]dx`

`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-frac{1}{2}(1+cos4x)-(1-sin^2 2x)cos 2x]dx`

`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-(cos 2x-sin^2 2x cos 2x)`

`=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-cos 2x+sin^2 2x cos 2x] dx`

`=\frac{1}{8}\int` `[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos 4x+sin^2 2x cos 2x] dx`

`=\frac{1}{8}[\int\frac{1}{2}dx-\frac{1}{8}\int cos 4x` `d(4x)``+\frac{1}{2}\int sin^2 2x d(sin 2x)]`

`=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin 4x+\frac{1}{6}sin^3 2x] +C`

C. `\int tan^n x dx` `\int cot^n x dx`

`•\int tan^n x dx`, faktorkan `tan x` kemudian gunakan identitas `tan^2x=sec^2x-1`
`•\int cot^n x dx`, faktorkan `cot x` kemudian gunakan identitas `cot^2x= csc^2 x-1`

Contoh:

1. Tentukan `\int tan^5 xdx`

Penyelesaian:

`\int tan^5 xdx`

`=\int tan^3 x.tan^2x dx`

`=\int tan^3 x(sec^2x-1)dx`

`=\int (tan^3x sec^2x-tan^3 x)dx`

`=\int (tan^3x sec^2 x-tan x.tan^2 x)dx`

`=\int (tan^3x sec^2 x-tan x(sec^2x-1))dx`

`=\int(tan^3 xsec^2 x-tan xsec^2x +tan x)dx`
`=\int tan^3 x sec^2xdx-\inttan xsec^2xdx+\int(tan x) dx`

Misalnya: `tan x=t` dan `sec^2x dx=dt` maka:

`=\int t^3 dt-\int t dt + \int tan x dx`

`=\frac{t^4}{4}-\frac{t^2}{2}+ In|secx|+C`

`=\frac{tan^4 x}{4}-\frac{tan^2x}{2} +In|sec x|+C`

2. Tentukan `\int cot^6 x dx`

Penyelesaian:

`\int cot^6 x dx`

`=\int cot^4 xcot^2x dx`

`=\int cot^4(csc^2 x-1) dx`

`=\int cot^4 x csc^2x dx-\int cot^4 x dx`

`=\int cot^4 x csc^2 x dx- \int cot^2 x(csc^2 x-1)`

`=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int cot^2 x dx`

`=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int (csc^2 x -1)dx`

`=\int cot^4 x csc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int csc^2 x dx-\int dx`

Misalnya: `t= cot x` dan `-csc^2 x dx= dt` diperoleh:

`=-\int t^4 dt+\int t^2 dt-\int dt-\intdx`

`=-\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}-t-x+C`

`=-\frac{cot^5 x}{5}+\frac{cot^3 x}{3}-cot x-x+C`

D. `\int tan^m x dx` `sec^n x dx` dan `\intcot^m x dx` `csc^n x dx`

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan `1+tan^2 x=sec^2 x`  dan `1+cot^2 x =csc^2 x`, begitu pula dengan ganjil.

Contoh:

Tentukan `\int tan^3 x sec^4 x` `dx`

Penyelesaian:

`\int tan^3 x sec^4 x` `dx`

`=\int tan^3 x (sec^2 x) ^2 dx`

`=\int tan^3 x (1+tan^2 x) sec^2x``dx`

`=\int (tan^3 x+tan^5 x) d(tan x)`

`=\frac{1}{4} tan^4 x+ \frac{1}{6} tan^6 x + C`

E. `\int sin mx cos nx``dx`, `\int sin mx sin nx``dx`, `\int cos mx cos nx` `dx`

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

`•sin mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]`
`•sin mx sin nx``dx``=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-cos(m-n)x]`
`•cos mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[cos (m+n)x+cos(m-n)x]`

Contoh:

1. Tentukan `\int sin 2x cos 3x dx`

Penyelesaian:

`\int sin 2x cos 3x dx`

`=\int \frac{1}{2}[sin(2+3)x+sin(2-3)x]dx`

`=\frac{1}{2} \int[sin 5x +sin(-x)]dx`

`=\frac{1}{2} [ \int sin 5x dx -\int sin(x) dx]`

`=\frac{1}{2} [\frac{-cos 5x}{5} +cos(x)]+ C`

`=-\frac{1}{10}cos 5x+\frac{1}{2} cos x+C`

2. Tentukan `\int cos 7x cos 5x dx`

Penyelesaian:

`cos 7x cos 5x dx`

`=\int \frac{1}{2}[cos (7+5)x+cos(7-5)x]dx`

`=\frac{1}{2}\int [cos 12x+cos 2x] dx`

`=\frac{1}{2}[\int cos 12x+\int cos 2x] dx`

`=\frac{1}{2}[\frac{sin 12x}{12}+\frac{sin 2x}{2}]+C`

`=\frac{1}{24} sin 12x+\frac{1}{4} sin 2x+C`

Sekian materi dari integral fungsi trigonometri, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More

INTEGRAL TAK TENTU

Halo teman-teman, pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai materi dan contoh soal mengenai integral tak tentu. Yuk langsung simak materinya.

A.Definisi

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral yaitu integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu dan integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Integral tak tentu merupakan suatu fungsi baru yang turunannya sama seperti fungsi aslinya. Jenis integral ini tidak memiliki batas dan belum mempunyai nilai yang jelas. Nilai yang belum jelas ini dilambangkan dengan konstanta (C). Sedangkan, lambang integral tak tentu tidak mempunyai batas atas dan batas bawah.

`\int f(x)dx= F(x)+C`

Keterangan:
`\int f ( x ) =` Notasi integral tak tentu
`f ( x ) + C= ` Fungsi anti turunan
`f(x)=` Fungsi yang di integralkan (integran)
`C=` Konstanta
`d(x)=` Differensial (turunan) dari `x`

B. Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Misalnya `f(x)` dan `g(x)` masing - masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real maka:

• `\int dx=x+C`
•`\int kdx= kx+C`
•`\int (f(x)±g(x))dx= \int f(x) dx±\int g(x)dx`
• `\int k f(x)dx= k \int f(x)dx`
• Dalam kasus n ≠ -1, maka:
a.`\int x^n dx=\frac{1}{n+1} x^{n+1} +C`
b. `\int kx^n dx=\frac{k}{n+1} x^{n+1} +C`

Contoh:
Carilah anti turunan dari:
1. `\int 3 dx=3x+C`
2. `\int x^5 dx=\frac{1}{5+1}x^{5+1} + C`
`= \frac{1}{6}x^6 +C`
3. `\int 5x^4+3x^2-6x`
= `\int 5 x ^ 4 + \int 3 x ^ 2 - \int 6 x`
= `5 \int x^{ 4 }dx + 3\int x^2 + 6\int x dx`
= `5\frac{1}{5}x^5 +C_{1} + 3\frac{1}{3}x^3 + C_{2} - 6\frac{1}{2}x^2 + C_{3}`
= `\int x^5 + x^3 + 3x^2 + C`

C. Aturan Pangkat Yang Diperumum
Misalkan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan r suatu bilamgan rasional yang ≠ -1, maka:

`\int (g(x))^{n}.g'(x) dx=\frac{g(x)^{n+1}}{n+1} +C`

Jika dimisalkan `u=g(x)`, maka `\frac{du}{dx}` = `g'(x)` atau `du=g'(x)dx` , sehingga bentuk diatas dapat diperoleh:

`\int u^n du=\frac{u^{n+1}}{n+1} +C,n≠1`

Contoh:
1. Selesaikan `\int (x^3 +5x)^8(2x^5 +3)dx`
Penyelesaian:
Misalnya `u= (x^3+5x)`, maka `du= (2x^5 +2)dx` sehingga:
= `\int (x^3+5x)^8 (2x^5+3) dx`
= `\int (u)^8 du`
= `\frac {1}{9} (u)^9 +C`
= `\frac {1}{9} (x^3 +5x)^9 + C`

D. Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Dari Turunan Fungsi Trigonometri
`\frac{d}{dx}( sin x )= cos x, \frac{d}{dx} ( cosx)=-sin x, dan \frac{d}{dx} (tan x)=sec^{2}x`
maka anti turunannya adalah:

• `\int cos x= sin x + C`
•`\int sin x=-cos x + C`
• `\int sec^2 x = tan x+C`
•`\int cos^{n} x sin xdx= -\frac{cos ^{n+1}x}{n+1}+C, n≠-1`
• `\int sin^{n} x cos xdx= \frac{sin ^{n+1}x}{n+1}+C, n≠-1`

Dengan aturan rantai yang digunakan pada fungsi trigonometri, diperoleh rumus-rumus sebagai berikut:
Misalkan `u=g(x)` maka `du=g'(x)dx` sehingga:
`\int (cos u) du = sin u+ C, \int (sin u) du =-cos u + C, dan \int (sec^2 u) du = tan u +C`

Contoh:
1. Hitunglah `\int cos 2x dx`
Penyelesaian:
Misalkan `u=2x` maka `du=2` atau `dx=\frac{1}{2} du` sehingga:
`\int 2x dx`= `\int cos u \frac{du}{2}`
= `\frac{1}{2} \int (cos u) du`
= `\frac{1}{2} (sin u) + C`
= `\frac {1}{2} sin 5x+C`

2. Hitunglah `\sin^2 4x cos x dx`
Penyelesaian:
Misalkan `u= sin 4x`, maka `du= cos x dx` sehingga:

`\int sin^2 4x cos x dx`= `\int u^2 du`
= `\frac{1}{3} u^3 +C`
= `\frac{1}{3} sin^3 4x +C`

Nah, sekian penjelasan singkat mengenai integral tak tentu. Semoga teman-teman makin paham yaa.

Read More