Halo, Assalamualaikum teman-teman
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tak wajar. Nah, sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I=[a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka
∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)-F(a)
Contoh:
1. ∫42(1-x)dx=[x-12x2]42
=(4-12.16)-(2-14.4)
=-4
2. ∫21dx1+x=[In|1+x|]21
=In(1+2)-In(1+1)
=In3-In2
3. ∫21dx√1+x, tidak dapat diselesaikan dengan Teorema diatas karena integran f(x)=11-x tidak terdefinisi pada x=1`
4. ∫1-1dxx, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran f(x)1x tidak terdefinisi di x=0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk ∫baf(x)dx disebut Integral Tidak Wajar jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus ∫baf(x)dx=[F(x)]ba=F(b)-F(a) tidak berlaku lagi.
Contoh:
1. ∫50dx5-x,f(x) tidak kontinu diatas batas x=5 atau f(x) kontinu di [0,5]
2. ∫40dx(2-x)2/3,f(x) tidak kontinu di x=2€[0,4] atau f(x) kontinu di [0,2] dan [2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
Contoh:
1. ∫∞0dxx+4, integran f(x) memuat batas atas di x=∞
2. ∫0-∞e2xdx, integran f(x) memuat batas bawah di x=-∞
3. ∫∞-∞dx1+4x2, integran f(x) memuat batas atas di x=∞ dan batas bawah di x=-∞
Pada contoh a(1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b(1,2,3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga (∞)
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
3. 2 Integral tak wajar dengan integral diskontinu
a. f(x) kontinu di[a,b] dan tidak kontinu di x=b
Karena f(x) tidak kontinu di x=b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x=b-ɛ(ɛ→0+),sehingga
∫baf(x)dx=lim
Karena batas atas x=b-\varepsilon (x-b^-) maka
\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx
Contoh:
1. \int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}} \int_0^{4-\varepsilon} \frac{d x}{\sqrt{4-x}}, f(x)tidak kontinu di batas atas x=4, sehingga
=\left[\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-2 \sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}
=-2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{4-(4-\varepsilon)}-\sqrt{(4-0)}\right]
=-2\left(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{\varepsilon}-\sqrt{4}\right)
=-2(0-2)
=4
Cara lain
\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}} =\lim _{t \rightarrow 4^{-}} \int_0^t \frac{d x}{\sqrt{4-x}}
=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}[-2 \sqrt{4-x}]_0^t
=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}\lfloor-2 \sqrt{4-t}+2 \sqrt{4-0}\rfloor
=-2(0)+2(2)
=4
2. \int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}
Fungsi di atas tidak kontinu di x=2 dan x=-2, sehingga:
\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}} =2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}
=2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}
=2\left[\Lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin \frac{x}{2}]_0^{2-\varepsilon}
=2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)
=2
b. f(x) kontinu di[a,b] dan tidak kontinu di x=a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = a - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+), sehingga
\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)dx
Karena batas bawah `x=a+\varepsilon (x-a^-) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx
Contoh:
1. \int_3^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}} =\lim _{t \rightarrow 3^+} \int_t^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}
=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[3(2) \sqrt{x-3}]^4
=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{4-3}-6 \sqrt{t-3}]
=6(1)-6(0)
=6
2. \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}, f(x) tidak kontinu di batas bawah x=0sehingga diperoleh:
\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}} =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{x}]_{0+\varepsilon}^1
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[ 2 \sqrt{1}-2 \sqrt{0+\varepsilon}\right]
=2-0
=2
c. f(x) kontinu di [a,b] \cup [c,b] dan tidak kontinu di x=c
Karena f(x) tidak kontinu di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = c + \varepsilon dan x = c - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+), sehingga
\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx
`=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)dx+ \int_{c-\varepsilon }^{b} f(x)dx`
Dapat juga dinyatakan dengan:
\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx+ \lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx
Contoh:
1. \int_{-1}^8 x^{-\frac{1}{3}} d x, f(x) tidak kontinu di x=0, sehingga diperoleh
\int_{-1}^0 x^{-\frac{1}{3}} d x+\int_0^8 x^{-\frac{1}{3}} d x =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} x^{-\frac{1}{3}} d x+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^8 x^{-\frac{1}{3}} d x
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{0+\varepsilon}^8
=-\frac{3}{2}+6
=\frac{9}{2}
2. \int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4}, f(x) diskontinu di x=0, sehingga diperoleh:
\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4} & =\int_{-1}^0 \frac{d x}{x^4}+\int_0^1 \frac{d x}{x^4}
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} \frac{d x}{x^4}+\lim \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{x^4}
=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{-1}{3 x^3}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{-1}{3 x^3}\right]_{0+\varepsilon}^8
= tidak berarti karena memuat bentuk \frac{1}{0}
3.3 Integral Tak Wajar Dengan Batas Tak Hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x =\infty
Selesaianya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk
\int_{a}^{\infty} f(x)dx=\lim_ {t to\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx
Contoh
1. \int_0^{\infty} \frac{d x}{x^2+1} =\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{d x}{x^2+4}
=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right]_0^t
=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{t}{2}-\frac{1}{2} \arctan 0\right]
\left(1 / 2 \cdot \frac{\pi}{2}-1 / 2.0\right)
=\frac{\pi}{4}
2. \int_1^{\infty} \frac{d x}{x^2} =\lim _{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{d x}{x^2}
=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t
=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{t}+1\right]_1^t
=1
b. Intergral tak wajar dengan batas bawah di x =\infty
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimanavariable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
\int_{-\infty}^{a} f(x)dx=\lim_ {t to\-infty} \int_{t}^{a} f(x)dx
Contoh
1. \int_{-\infty}^0 e^{2 x} dx=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 x}\right]_t^0
=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2} \cdot 1-\frac{1}{2} e^{2 t}\right]
=1 / 2-0
=1 / 2
2. int_{-\infty}^0 \frac{d x}{(4-x)^2}=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{(4-x)}\right]_t^0
=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{(4-t)}+\frac{1}{(4-0)}\right]
=0+\frac{1}{4}
=1 / 4
c. Integral tak wajar dengan batas atas x = \infty dan batas bawah x=\infrty
Khusus untuk bentuk integral ini diubah dua terlebih dahulu menjadi penjumlahan integral tak wajar dengan \int_{-\infty}^{\infty} f(x)x = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx +\int_{a}^{\infty} f(x)dx, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx +\int_{a}^{\infty} f(x)dx
=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_{t}^{a}f(x) dx + \lim_{t \rightarrow\infty} \int_{a}^{t}f(x) dx
Contoh:
1. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2} & =\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+4 x^2}+\int_0^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2} =\lim _{t \rightarrow-\infty}[arctg 4 x]_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}[arctg 4 x]_0^t
=\frac{\pi}{2}
2. \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1} & =\int_{-\infty}^0 \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}+\int_0^{\infty} \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}
=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^0 \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}+\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}
=\lim _{t \rightarrow-\infty} (arctgn e^x)_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}(arctgn e^x)_0^t
=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-0
=\frac{\pi}{2}
Sekian materi mengenai integral tak wajar, semoga teman-teman paham yaa.
