Halo, Assalamualaikum teman-teman
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tak wajar. Nah, sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada `I = [a,b]`, dan `F(x)` sebarang antiturunan pada I, maka
`\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)`
Contoh:
1. `\int_{2}^{4} (1-x)dx=[x-1/2 x^2]_{2}^{4}`
`=(4-1/2.16)-(2-1/4.4)`
`=-4`
2. `\int_{1}^{2} dx/(1+x) =[In|1+x|]_{1}^{2}`
`=In(1+2)-In(1+1)`
`=In3-In2`
3. `\int_{1}^{2} dx/\sqrt{1+x}`, tidak dapat diselesaikan dengan Teorema diatas karena integran `f(x)=1/(1-x)` tidak terdefinisi pada x=1`
4. `\int_{-1}^{1} dx/x`, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran `f(x) 1/x` tidak terdefinisi di `x=0`
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk `\int_{a}^{b}f(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di `[a,b]`, sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus `\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi.
Contoh:
1. `\int_{0}^{5} dx/(5-x), f(x)` tidak kontinu diatas batas `x=5` atau `f(x)` kontinu di `[0,5]`
2. `\int_{0}^{4} dx/(2-x)^2/3 , f(x)` tidak kontinu di `x=2 € [0,4]` atau `f(x)` kontinu di `[0,2]` dan `[2,4]`
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
Contoh:
1. `\int_{0}^{\infty} dx/(x^+4)`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty`
2. `\int_{-\infty}^{0} e^(2x) dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x=-\infty`
3. `\int_{-\infty}^{\infty} dx/(1+4x^2)`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`
Pada contoh `a (1,2,3)` adalah integral tak wajar dengan integran `f(x)` tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh `b (1, 2, 3)` adalah integral tak wajar integran `f(x)` mempunyai batas di tak hingga `(\infty)`
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
3. 2 Integral tak wajar dengan integral diskontinu
a. `f(x)` kontinu di`[a,b]` dan tidak kontinu di `x=b`
Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = b`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = b - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+)`,sehingga
`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x)dx`
Karena batas atas `x=b-\varepsilon (x-b^-)` maka
`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx`
Contoh:
1. `\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}} \int_0^{4-\varepsilon} \frac{d x}{\sqrt{4-x}}, f(x)`tidak kontinu di batas atas `x=4`, sehingga
`=\left[\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-2 \sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}`
`=-2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{4-(4-\varepsilon)}-\sqrt{(4-0)}\right] `
`=-2\left(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{\varepsilon}-\sqrt{4}\right)`
`=-2(0-2)`
`=4`
Cara lain
`\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}} =\lim _{t \rightarrow 4^{-}} \int_0^t \frac{d x}{\sqrt{4-x}}`
`=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}[-2 \sqrt{4-x}]_0^t`
`=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}\lfloor-2 \sqrt{4-t}+2 \sqrt{4-0}\rfloor`
`=-2(0)+2(2)`
` =4`
2. `\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}, f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}`
Fungsi di atas tidak kontinu di `x=2` dan `x=-2`, sehingga:
`\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}} =2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}`
`=2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}`
`=2\left[\Lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin \frac{x}{2}]_0^{2-\varepsilon}`
`=2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)`
`=2`
b. `f(x)` kontinu di`[a,b]` dan tidak kontinu di `x=a`
Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = a`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = a - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+)`, sehingga
`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)dx`
Karena batas bawah `x=a+\varepsilon (x-a^-) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx`
Contoh:
1. `\int_3^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}} =\lim _{t \rightarrow 3^+} \int_t^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}`
`=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[3(2) \sqrt{x-3}]^4`
`=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{4-3}-6 \sqrt{t-3}]`
`=6(1)-6(0)`
`=6`
2. `\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}, f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x=0`sehingga diperoleh:
`\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}} =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{x}]_{0+\varepsilon}^1`
`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[ 2 \sqrt{1}-2 \sqrt{0+\varepsilon}\right]`
`=2-0`
`=2`
c. `f(x)` kontinu di `[a,b] \cup [c,b]` dan tidak kontinu di `x=c`
Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = c`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x = c + \varepsilon` dan ` x = c - \varepsilon (\varepsilon \to 0^+)`, sehingga
`\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c} f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx`
`=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{c-\varepsilon} f(x)dx+ \int_{c-\varepsilon }^{b} f(x)dx`
Dapat juga dinyatakan dengan:
`\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{t \to b^-} \int_{a}^{t} f(x)dx+ \lim_{t \to a^+} \int_{t}^{b} f(x)dx`
Contoh:
1. `\int_{-1}^8 x^{-\frac{1}{3}} d x, f(x)` tidak kontinu di `x=0`, sehingga diperoleh
`\int_{-1}^0 x^{-\frac{1}{3}} d x+\int_0^8 x^{-\frac{1}{3}} d x =\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} x^{-\frac{1}{3}} d x+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^8 x^{-\frac{1}{3}} d x`
`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}\right]_{0+\varepsilon}^8`
`=-\frac{3}{2}+6`
`=\frac{9}{2}`
2. `\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4}, f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh:
`\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4} & =\int_{-1}^0 \frac{d x}{x^4}+\int_0^1 \frac{d x}{x^4}`
`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} \frac{d x}{x^4}+\lim \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{x^4}`
`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{-1}{3 x^3}\right]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{-1}{3 x^3}\right]_{0+\varepsilon}^8`
`=` tidak berarti karena memuat bentuk `\frac{1}{0}`
3.3 Integral Tak Wajar Dengan Batas Tak Hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas `x =\infty`
Selesaianya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk
`\int_{a}^{\infty} f(x)dx=\lim_ {t to\infty} \int_{a}^{t} f(x)dx`
Contoh
1. `\int_0^{\infty} \frac{d x}{x^2+1} =\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{d x}{x^2+4}`
`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right]_0^t `
`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{t}{2}-\frac{1}{2} \arctan 0\right]`
`\left(1 / 2 \cdot \frac{\pi}{2}-1 / 2.0\right)`
`=\frac{\pi}{4}`
2. `\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^2} =\lim _{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{d x}{x^2}`
`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^t`
`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{t}+1\right]_1^t`
`=1`
b. Intergral tak wajar dengan batas bawah di `x =\infty`
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimanavariable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
`\int_{-\infty}^{a} f(x)dx=\lim_ {t to\-infty} \int_{t}^{a} f(x)dx`
Contoh
1. `\int_{-\infty}^0 e^{2 x} dx=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2} e^{2 x}\right]_t^0`
`=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2} \cdot 1-\frac{1}{2} e^{2 t}\right]`
`=1 / 2-0`
`=1 / 2`
2. `int_{-\infty}^0 \frac{d x}{(4-x)^2}=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{(4-x)}\right]_t^0`
`=\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{(4-t)}+\frac{1}{(4-0)}\right]`
`=0+\frac{1}{4}`
`=1 / 4`
c. Integral tak wajar dengan batas atas `x = \infty` dan batas bawah x=`\infrty`
Khusus untuk bentuk integral ini diubah dua terlebih dahulu menjadi penjumlahan integral tak wajar dengan `\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx +\int_{a}^{\infty} f(x)dx`, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:
`\int_{-\infty}^{\infty} f(x)x = \int_{-\infty}^{a} f(x)dx +\int_{a}^{\infty} f(x)dx`
`=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_{t}^{a}f(x) dx + \lim_{t \rightarrow\infty} \int_{a}^{t}f(x) dx`
Contoh:
1. `\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2} & =\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+4 x^2}+\int_0^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2}` `=\lim _{t \rightarrow-\infty}[arctg 4 x]_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}[arctg 4 x]_0^t`
`=\frac{\pi}{2}`
2. `\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1} & =\int_{-\infty}^0 \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}+\int_0^{\infty} \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}`
`=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^0 \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1}+\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{e^x d x}{e^{2 x}+1} `
`=\lim _{t \rightarrow-\infty} (arctgn e^x)_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}(arctgn e^x)_0^t`
`=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-0`
`=\frac{\pi}{2}`
Sekian materi mengenai integral tak wajar, semoga teman-teman paham yaa.
