METODE SUBSTITUSI -INTEGRAL TAK TENTU

Halo guys, setelah pembahasan mengenai integral tak tentu, kali ini kita akan membahas salah satu metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu yaitu metode substitusi. 

Teknik substitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubstitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `u`. Untuk menentukan `\int f(x) dx` kita dapat mensubstitusikan `u=g(x)` dan `du=g^'(x)dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. 

Teorema aturan substitusi yaitu:

Jika `u=g(x)` adalah fungsi yang terdiferensiasikan dengan daerah hasilnya adalah interval I dan `f` kontinu pada I maka :

`\intf(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du`

Metode substitusi untuk menghitung `\intf(g(x))g'(x)dx`:

1. Substitusikan `u=g(x)` dan `du=(du/dx)dx=g^'(x)dx` untuk memperoleh `\int f(u)du`
2. Integrasikan terhadap `u`
3. Gantikan `u` dengan `g(x)`

Contoh:

1.Tentukan `\int (x^2 +7x)^5(5x^3 +2)dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= (x^2+7x)`, maka `du= (5x^3 +2)dx` sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`= \int (x^2+7x)^5 (5x^3+2) dx`

`= \int (u)^5 du`

`= \frac {1}{6} (u)^6 +C`

`= \frac {1}{6} (x^2+7x)^6+ C`

2. Tentukan `\int (2x+12)^8 dx`

Penyelesaian:

• Misalnya `u =2x+12`

•`d(u)= d(2x+12)`

• `du= 2dx`

•`dx=\frac{du}{2}`

Sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

 `\int (2x+12)^8 dx=` `\int u^8 \frac{du}{3}`

`=\frac{1}{3} \int u^8 du`

`=\frac{1}{3} (\frac {u^9}{9}) +C`

`= \frac{1}{27} u^9 + C`

`=\frac{(2x+12)^9}{27}+C`

3. Tentukan `\int \sqrt{5-3x} dx`

Penyelesaian:

Misal `u=5-3x` maka `du=-3x`, `dx= -\frac{1}{3} du`

Dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \sqrt{5-3x}`

`=\int \sqrt{u}(-\frac{1}{3}du)`

`=\int u^{\frac{1}{2}}(-\frac{1}{3})du`

`=\int -\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du`

`=-\frac{1}{3}\times\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} +C`

`=-\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} u^\frac{3}{2}+C`

`=-\frac{2}{9}u^\frac{3}{2}+C`

`=-\frac{2}{9}(5-3x)\sqrt{5-3x}+C`

4. Tentukan`\int \sqrt{5x^2+2x} (5x+1)dx`

penyelesaian:

• Misalnya `u=\sqrt{5x^2 +2x}`

• `u^2= 5x^2+2x`

•`d(u^2)=d(5x^2+2x)`

•`2u` `du``=``10x+2`

•`2u` `du``=``2(5x+1)dx`

•`u` `du``=``(5x+1)dx`

Sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \sqrt{5x^2+2x} (5x+1)dx`   

`=\int u` `udu`

`=\int u^2 du`

`=\int \frac{1}{3} u^3 +C`

`=\int \frac{1}{3} (5x^2+2x) \sqrt{5x^2+2x}+C`

5. Tentukan `\int \frac{r}{\sqrt{3r+5}} dr`

Penyelesaian:

• Misalnya`u=\sqrt{3r+5}`

• `u^2=3r+5`

• `d(u^2)=d(3r+5)`

• `2u` `du` = 3 dr`

• `dr=\frac{2}{3} u` `dr`

Karena `u^2 =3r+5` maka `r=\frac{u^2-5}{3}` sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \frac{r}{\sqrt{3r+5}} dr`

`=\int \frac{\frac{u^2-5}{3}}{u}\times\frac{2u du}{3}`

`=\int \frac{u^2-5}{3u} \times \frac{2u du}{5}`

`=\int \frac{2(u^2-5)}{15} du`

`=\frac{2}{15}\int(u^2-5)du`

`=\frac{2}{15}(\int u^2du-\int 5 du)`

`=\frac{2}{15}(\frac{u^3}{3}-5u) +C`

`=\frac{2}{45} u^3-\frac{10}{15}u +C`

`=\frac{2}{45} (3r-5) (\sqrt{3r-5})-\frac{10}{15}(\sqrt{3r-5})+C`

Nah, sekian penjelasan singkat mengenai metode substitusi pada integral tak tentu. Semoga teman-teman makin paham yaa.