Halo teman-teman,
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri.Integral fungsi trigonometri yaitu kebalikan dari turunan trigonometri. Di mana, integral tersebut juga memuat fungsi trigonometri.
Sebelum membahas lebih rinci mengenai teknik integral fungsi trigonometri, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
`•\int sin xdx=-cosx +C`
`•\int cos x dx= sin x+ C`
`•\int tan x dx= In|sec x|+C=-In |cos x| + C`
`•\int csc x dx= In|csc x-cot x|+ C`
`•\int sec x dx= In|sec x+tan x|+C`
`•\int cot x dx= -In|sec x|+C=-In |sin x| + C`
`•\int cos x dx= sin x+ C`
`•\int tan x dx= In|sec x|+C=-In |cos x| + C`
`•\int csc x dx= In|csc x-cot x|+ C`
`•\int sec x dx= In|sec x+tan x|+C`
`•\int cot x dx= -In|sec x|+C=-In |sin x| + C`
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. `\int sin^m x dx` dan `\int cos^m x dx` dengan `m` bilangan ganjil atau genap positif
• Jika m bulat positif ganjil, maka m diubah menjadi `(m-1)+1`, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas `sin^2 x + cos^2 x=1`
• Jika m bilangan bulat positif genap, selesaiannya dapat dilakukan dengn menggunakan identitas: `sin^2 x=\frac{1-cos 2x}{2}` dan ` cos^2 x= \frac{1+cos 2x}{2}`
• Jika m bilangan bulat positif genap, selesaiannya dapat dilakukan dengn menggunakan identitas: `sin^2 x=\frac{1-cos 2x}{2}` dan ` cos^2 x= \frac{1+cos 2x}{2}`
1. Tentukan`\int cos^5 x dx`
Penyelesaian:
`\int cos^5 x dx`
`=\int cos^4 x` `cos x` `dx`
`=\int (cos^2 x)^2` `cos x` `dx`
`=\int (1-sin ^2x)^2` `d(sin x)`
`=\int (1-2sin^2 x + sin^4 x)` `d(sin x)`
`=\int 1``d(sin x)- 2\int sin^2 x``d(sin x) + sin^4x``d(sin x)`
`=Sin x-\frac{2}{3} sin^3 x + \frac{1}{5} sin^5 x`
2. Tentukan `\int sin^4 x dx` Penyelesaian: `\int sin^4 x dx` `=\int (sin^2 x)^2 dx` `=\int (\frac{1-cos2x}{2})^2 dx` `=\int (\frac{1-2cos2x+ cos^2 2x}{4})dx` `=\int \frac{1}{4} dx-\int\frac{cos 2x}{2}dx+\int \frac{cos^2 2x}{4} dx` `=\int \frac{1}{4}dx-\int \frac{sin2x}{4}dx+\frac{1}{4}\int cos^2 (2x) dx` `=\frac{x}{4}-\frac{sin 2x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{sin 4x}{32}+C` `=\frac{3x}{8}-\frac{sin 2x}{4}+ \frac{sin 4x}{32}+C`
B. `\int sin^m x cos^m x dx`
1. Selesaikan `\int sin^2 x cos^5 x` Penyelesaian: `=\int sin^2 x cos^5 x` `=\int sin^2x(cos^2 x)^2cos x dx` `=\int sin^2x(1-sin^2x)^2 d(sin x)` `=\int sin^2 x(1-2sin^2 x+sin^4 x) d (sin x)` `=\int (sin^2 x-2 sin^4 x+sin^6 x)d(sinx)` `=\int sin^2 xd(sin x)-\int 2 sin^4xd(sinx) + \int sin^6 x d(sin x)` Misalnya: `u=sinx`, maka: `=\int u^2 du-\int 2u^4 du +\int u^6 du` `=\frac{1}{3}u^3 - 2\frac{1}{5} u^5 + \frac{1}{7}u^7+C` `=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{2}{5} sin^5x +\frac{1}{7} sin^7 x+C`
2. Selesaikan `\int sin^2 x cos^4 x` Penyelesaian: `=\int sin^2 x cos^4 x` `=\int` `[(\frac{1-cos 2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})^2]dx` `=\frac{1}{8}\int` `[(1-cos2x)(1+2cos2x+cos^2 2x)] dx` `=\frac{1}{8}\int[ 1(1+2cos2x+cos^2 2x)-cos2x(1+2cos2x+cos^2 2x) ]` `dx`
C. `\int tan^n x dx` `\int cot^n x dx`
Contoh:
1. Tentukan `\int tan^5 xdx`Jika `m` atau `n` bilangan bulat positif ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maja faktorkan ` sin x` atau `cos x` dengan menggunakan kesamaan identitas `sin^2 x+cos^2x=1`.
`=\frac{1}{8}\int[1+2cos2x+cos^2 2x-cos2x-2 cos^2 2x-cos^3 2x] dx`
`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-cos^2 2x- cos^3 2x]dx`
`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-frac{1}{2}(1+cos4x)-(1-sin^2 2x)cos 2x]dx`
`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-(cos 2x-sin^2 2x cos 2x)`
`=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-cos 2x+sin^2 2x cos 2x] dx`
`=\frac{1}{8}\int` `[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos 4x+sin^2 2x cos 2x] dx`
`=\frac{1}{8}[\int\frac{1}{2}dx-\frac{1}{8}\int cos 4x` `d(4x)``+\frac{1}{2}\int sin^2 2x d(sin 2x)]`
`=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin 4x+\frac{1}{6}sin^3 2x] +C`
`•\int tan^n x dx`, faktorkan `tan x` kemudian gunakan identitas `tan^2x=sec^2x-1`
`•\int cot^n x dx`, faktorkan `cot x` kemudian gunakan identitas `cot^2x= csc^2 x-1`
`•\int cot^n x dx`, faktorkan `cot x` kemudian gunakan identitas `cot^2x= csc^2 x-1`
Penyelesaian:
`\int tan^5 xdx`
`=\int tan^3 x.tan^2x dx`
`=\int tan^3 x(sec^2x-1)dx`
`=\int (tan^3x sec^2x-tan^3 x)dx`
`=\int (tan^3x sec^2 x-tan x.tan^2 x)dx`
`=\int (tan^3x sec^2 x-tan x(sec^2x-1))dx`
`=\int(tan^3 xsec^2 x-tan xsec^2x +tan x)dx`
`=\int tan^3 x sec^2xdx-\inttan xsec^2xdx+\int(tan x) dx`
`=\int tan^3 x sec^2xdx-\inttan xsec^2xdx+\int(tan x) dx`
Misalnya: `tan x=t` dan `sec^2x dx=dt` maka:
`=\int t^3 dt-\int t dt + \int tan x dx`
`=\frac{t^4}{4}-\frac{t^2}{2}+ In|secx|+C`
`=\frac{tan^4 x}{4}-\frac{tan^2x}{2} +In|sec x|+C`
2. Tentukan `\int cot^6 x dx`
Penyelesaian:
`\int cot^6 x dx`
`=\int cot^4 xcot^2x dx`
`=\int cot^4(csc^2 x-1) dx`
`=\int cot^4 x csc^2x dx-\int cot^4 x dx`
`=\int cot^4 x csc^2 x dx- \int cot^2 x(csc^2 x-1)`
`=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int cot^2 x dx`
`=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int (csc^2 x -1)dx`
`=\int cot^4 x csc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int csc^2 x dx-\int dx`
Misalnya: `t= cot x` dan `-csc^2 x dx= dt` diperoleh:
`=-\int t^4 dt+\int t^2 dt-\int dt-\intdx`
`=-\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}-t-x+C`
`=-\frac{cot^5 x}{5}+\frac{cot^3 x}{3}-cot x-x+C`
D. `\int tan^m x dx` `sec^n x dx` dan `\intcot^m x dx` `csc^n x dx`
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m
ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan `1+tan^2 x=sec^2 x` dan `1+cot^2 x =csc^2 x`, begitu pula dengan ganjil.
Contoh:
Tentukan `\int tan^3 x sec^4 x` `dx`
Penyelesaian:
`\int tan^3 x sec^4 x` `dx`
`=\int tan^3 x (sec^2 x) ^2 dx`
`=\int tan^3 x (1+tan^2 x) sec^2x``dx`
`=\int (tan^3 x+tan^5 x) d(tan x)`
`=\frac{1}{4} tan^4 x+ \frac{1}{6} tan^6 x + C`
E. `\int sin mx cos nx``dx`, `\int sin mx sin nx``dx`, `\int cos mx cos nx` `dx`
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
`•sin mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]`
`•sin mx sin nx``dx``=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-cos(m-n)x]`
`•cos mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[cos (m+n)x+cos(m-n)x]`
`•sin mx sin nx``dx``=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-cos(m-n)x]`
`•cos mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[cos (m+n)x+cos(m-n)x]`
1. Tentukan `\int sin 2x cos 3x dx`
Penyelesaian:
`\int sin 2x cos 3x dx`
`=\int \frac{1}{2}[sin(2+3)x+sin(2-3)x]dx`
`=\frac{1}{2} \int[sin 5x +sin(-x)]dx`
`=\frac{1}{2} [ \int sin 5x dx -\int sin(x) dx]`
`=\frac{1}{2} [\frac{-cos 5x}{5} +cos(x)]+ C`
`=-\frac{1}{10}cos 5x+\frac{1}{2} cos x+C`
2. Tentukan `\int cos 7x cos 5x dx`
Penyelesaian:
`cos 7x cos 5x dx`
`=\int \frac{1}{2}[cos (7+5)x+cos(7-5)x]dx`
`=\frac{1}{2}\int [cos 12x+cos 2x] dx`
`=\frac{1}{2}[\int cos 12x+\int cos 2x] dx`
`=\frac{1}{2}[\frac{sin 12x}{12}+\frac{sin 2x}{2}]+C`
`=\frac{1}{24} sin 12x+\frac{1}{4} sin 2x+C`
Sekian materi dari integral fungsi trigonometri, semoga teman-teman semakin paham yaaa.
