Halo teman-teman,
Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri.Integral fungsi trigonometri yaitu kebalikan dari turunan trigonometri. Di mana, integral tersebut juga memuat fungsi trigonometri.
Sebelum membahas lebih rinci mengenai teknik integral fungsi trigonometri, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:
•∫sinxdx=-cosx+C
•∫cosxdx=sinx+C
•∫tanxdx=In|secx|+C=-In|cosx|+C
•∫cscxdx=In|cscx-cotx|+C
•∫secxdx=In|secx+tanx|+C
•∫cotxdx=-In|secx|+C=-In|sinx|+C
•∫cosxdx=sinx+C
•∫tanxdx=In|secx|+C=-In|cosx|+C
•∫cscxdx=In|cscx-cotx|+C
•∫secxdx=In|secx+tanx|+C
•∫cotxdx=-In|secx|+C=-In|sinx|+C
Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:
A. ∫sinmxdx dan ∫cosmxdx dengan m bilangan ganjil atau genap positif
• Jika m bulat positif ganjil, maka m diubah menjadi (m-1)+1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas sin2x+cos2x=1
• Jika m bilangan bulat positif genap, selesaiannya dapat dilakukan dengn menggunakan identitas: sin2x=1-cos2x2 dan cos2x=1+cos2x2
• Jika m bilangan bulat positif genap, selesaiannya dapat dilakukan dengn menggunakan identitas: sin2x=1-cos2x2 dan cos2x=1+cos2x2
1. Tentukan∫cos5xdx
Penyelesaian:
∫cos5xdx
=∫cos4x cosx dx
=∫(cos2x)2 cosx dx
=∫ d(sin x)
=\int (1-2sin^2 x + sin^4 x) d(sin x)
=\int 1d(sin x)- 2\int sin^2 xd(sin x) + sin^4xd(sin x)
=Sin x-\frac{2}{3} sin^3 x + \frac{1}{5} sin^5 x
2. Tentukan \int sin^4 x dx Penyelesaian: \int sin^4 x dx =\int (sin^2 x)^2 dx =\int (\frac{1-cos2x}{2})^2 dx =\int (\frac{1-2cos2x+ cos^2 2x}{4})dx =\int \frac{1}{4} dx-\int\frac{cos 2x}{2}dx+\int \frac{cos^2 2x}{4} dx =\int \frac{1}{4}dx-\int \frac{sin2x}{4}dx+\frac{1}{4}\int cos^2 (2x) dx =\frac{x}{4}-\frac{sin 2x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{sin 4x}{32}+C =\frac{3x}{8}-\frac{sin 2x}{4}+ \frac{sin 4x}{32}+C
B. \int sin^m x cos^m x dx
1. Selesaikan \int sin^2 x cos^5 x Penyelesaian: =\int sin^2 x cos^5 x =\int sin^2x(cos^2 x)^2cos x dx =\int sin^2x(1-sin^2x)^2 d(sin x) =\int sin^2 x(1-2sin^2 x+sin^4 x) d (sin x) =\int (sin^2 x-2 sin^4 x+sin^6 x)d(sinx) =\int sin^2 xd(sin x)-\int 2 sin^4xd(sinx) + \int sin^6 x d(sin x) Misalnya: u=sinx, maka: =\int u^2 du-\int 2u^4 du +\int u^6 du =\frac{1}{3}u^3 - 2\frac{1}{5} u^5 + \frac{1}{7}u^7+C =\frac{1}{3}sin^3x-\frac{2}{5} sin^5x +\frac{1}{7} sin^7 x+C
2. Selesaikan \int sin^2 x cos^4 x Penyelesaian: =\int sin^2 x cos^4 x =\int [(\frac{1-cos 2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})^2]dx =\frac{1}{8}\int [(1-cos2x)(1+2cos2x+cos^2 2x)] dx =\frac{1}{8}\int[ 1(1+2cos2x+cos^2 2x)-cos2x(1+2cos2x+cos^2 2x) ] dx
C. \int tan^n x dx \int cot^n x dx
Contoh:
1. Tentukan \int tan^5 xdxJika m atau n bilangan bulat positif ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maja faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identitas sin^2 x+cos^2x=1.
=\frac{1}{8}\int[1+2cos2x+cos^2 2x-cos2x-2 cos^2 2x-cos^3 2x] dx
=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-cos^2 2x- cos^3 2x]dx
=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-frac{1}{2}(1+cos4x)-(1-sin^2 2x)cos 2x]dx
=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-(cos 2x-sin^2 2x cos 2x)
=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-cos 2x+sin^2 2x cos 2x] dx
=\frac{1}{8}\int [\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos 4x+sin^2 2x cos 2x] dx
=\frac{1}{8}[\int\frac{1}{2}dx-\frac{1}{8}\int cos 4x d(4x)+\frac{1}{2}\int sin^2 2x d(sin 2x)]
=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin 4x+\frac{1}{6}sin^3 2x] +C
•\int tan^n x dx, faktorkan tan x kemudian gunakan identitas tan^2x=sec^2x-1
•\int cot^n x dx, faktorkan cot x kemudian gunakan identitas cot^2x= csc^2 x-1
•\int cot^n x dx, faktorkan cot x kemudian gunakan identitas cot^2x= csc^2 x-1
Penyelesaian:
\int tan^5 xdx
=\int tan^3 x.tan^2x dx
=\int tan^3 x(sec^2x-1)dx
=\int (tan^3x sec^2x-tan^3 x)dx
=\int (tan^3x sec^2 x-tan x.tan^2 x)dx
=\int (tan^3x sec^2 x-tan x(sec^2x-1))dx
=\int(tan^3 xsec^2 x-tan xsec^2x +tan x)dx
=\int tan^3 x sec^2xdx-\inttan xsec^2xdx+\int(tan x) dx
=\int tan^3 x sec^2xdx-\inttan xsec^2xdx+\int(tan x) dx
Misalnya: tan x=t dan sec^2x dx=dt maka:
=\int t^3 dt-\int t dt + \int tan x dx
=\frac{t^4}{4}-\frac{t^2}{2}+ In|secx|+C
=\frac{tan^4 x}{4}-\frac{tan^2x}{2} +In|sec x|+C
2. Tentukan \int cot^6 x dx
Penyelesaian:
\int cot^6 x dx
=\int cot^4 xcot^2x dx
=\int cot^4(csc^2 x-1) dx
=\int cot^4 x csc^2x dx-\int cot^4 x dx
=\int cot^4 x csc^2 x dx- \int cot^2 x(csc^2 x-1)
=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int cot^2 x dx
=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int (csc^2 x -1)dx
=\int cot^4 x csc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int csc^2 x dx-\int dx
Misalnya: t= cot x dan -csc^2 x dx= dt diperoleh:
=-\int t^4 dt+\int t^2 dt-\int dt-\intdx
=-\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}-t-x+C
=-\frac{cot^5 x}{5}+\frac{cot^3 x}{3}-cot x-x+C
D. \int tan^m x dx sec^n x dx dan \intcot^m x dx csc^n x dx
Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m
ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1+tan^2 x=sec^2 x dan 1+cot^2 x =csc^2 x, begitu pula dengan ganjil.
Contoh:
Tentukan \int tan^3 x sec^4 x dx
Penyelesaian:
\int tan^3 x sec^4 x dx
=\int tan^3 x (sec^2 x) ^2 dx
=\int tan^3 x (1+tan^2 x) sec^2xdx
=\int (tan^3 x+tan^5 x) d(tan x)
=\frac{1}{4} tan^4 x+ \frac{1}{6} tan^6 x + C
E. \int sin mx cos nxdx, \int sin mx sin nxdx, \int cos mx cos nx dx
Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:
•sin mx cos nxdx=\frac{1}{2}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]
•sin mx sin nxdx=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-cos(m-n)x]
•cos mx cos nxdx=\frac{1}{2}[cos (m+n)x+cos(m-n)x]
•sin mx sin nxdx=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-cos(m-n)x]
•cos mx cos nxdx=\frac{1}{2}[cos (m+n)x+cos(m-n)x]
1. Tentukan \int sin 2x cos 3x dx
Penyelesaian:
\int sin 2x cos 3x dx
=\int \frac{1}{2}[sin(2+3)x+sin(2-3)x]dx
=\frac{1}{2} \int[sin 5x +sin(-x)]dx
=\frac{1}{2} [ \int sin 5x dx -\int sin(x) dx]
=\frac{1}{2} [\frac{-cos 5x}{5} +cos(x)]+ C
=-\frac{1}{10}cos 5x+\frac{1}{2} cos x+C
2. Tentukan \int cos 7x cos 5x dx
Penyelesaian:
cos 7x cos 5x dx
=\int \frac{1}{2}[cos (7+5)x+cos(7-5)x]dx
=\frac{1}{2}\int [cos 12x+cos 2x] dx
=\frac{1}{2}[\int cos 12x+\int cos 2x] dx
=\frac{1}{2}[\frac{sin 12x}{12}+\frac{sin 2x}{2}]+C
=\frac{1}{24} sin 12x+\frac{1}{4} sin 2x+C
Sekian materi dari integral fungsi trigonometri, semoga teman-teman semakin paham yaaa.
