INTEGRAL TENTU - TEOREMA DASAR KALKULUS

 

Halo guys, Assalamualaikum.

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu -teorema dasar kalkulus, yuk simak materinya.

A. Teorema Dasar Kalkulus

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkuklus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan f fungsi kontinyu pada selang `[a,b]` dan andaikan f fungsi sebarang anti turunan dari f, maka:

`\int_{a}^{b} f(x) dx= F(b)-F(a)`

Contoh:

1. `\int_{-4}^{-1} 5` `dx`

Jawab:

`\int_{-4}^{-1} 5` `dx=  [5x]_{-4}^{-1}`

                   `=5(-1)-5(-4)`

                   `=15`

2. `\int_{2}^{3} x^5` `dx`

Jawab:

`\int_{2}^{3} x^5` `dx= [1/6 x^6]_{2}^{3}`

                  `=1/6 (3^6-2^6)`

                  `=1/6 (729-64)`

                  `=1/6 (665)`

Teorema dasar kalkulus dapat digunakan untuk memperoleh sifat pendefrensialan integral tentu, yaitu:

Jika f kontinu pada selang [a,b] dan x adalah sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka:

`d/dx(\int_{a}^{x}f(t) dt)=f(x)`

Contoh:

1. `d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)`

Penyelesaian:

  `d/dx (\int_{2}^{x^2} (3t+2)dt)= d/dx [3/2 t^2+2t]_{2}^{x^2}`

                           `= d/dx ((3/2 (x^2)^2 +2x^2)- (3/2 (2)^2 + 2.2))`

                           `=d/dx(3/2 x^4 +2x^2-10)`

                           `= 6x^3 +4x`

B. Rumus - Rumus Integral Tentu 

Jika f dan g fungsi terintegralkan pada selang [a,b] dan k konstanta, maka:

`(1) \int_{a}^{b} k` `f(x)dx = k\int_{a}^{b} f(x) dx`
`(2)\int_{a}^{b} (f(x)+g(x)) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+ \int_{a}^{b} g(x) dx `
`(3)\int_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx= \int_{a}^{b} f(x) dx-\int_{a}^{b} g(x) dx`
`(4)\int_{a}^{b} f(x)dx= -\int_{a}^{b} f(x) dx, a>b`
`(5) \int_{a}^{c}f(x) dx=\int_{a}^{b} f(x) dx+\int_{b}^{c} f(x) dx, ab` `€[a,c]`

Contoh:

1. `\int_{2}^{3} 4x^3 dx`

Penyelesaian:

`\int_{2}^{3} 4x^3 dx=4 \int_{2}^{3} x^3 dx`

                     `=[4×1/4x^4]_{2}^{3}`

                     `=(4 ×1/4 3^4)- (4 ×1/4 2^4 )`

                     `=4((3^4-2^4)/4)`

                     `=4((65)/4)`

                     `=65`

2. `\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx`

Penyelesaian: 

`\int_{3}^{5} (8x^3 +3x) dx= \int_{3}^{5} 8x^3` `dx+\int_{3}^{5} 3x``dx`

                         `=[2x^4]_{3}^{5}+[(3x^2)/2]_{3}^{5}`

                         `=(2.5^4-2.3^4)+(3.5^2-3.3^2)/2`

                         `= 2(5^4-3^4)+3((5^2-3^2)/2)`

                         `=1088+24`

                         `=1112`

               

3. `\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx`

Penyelesaian:

 `\int_{1}^{3} (2x^3-5x-3) dx= \int_{1}^{3} 2x^3` `dx -\int_{1}^{3} 5x` `dx-\int_{1}^{3}3` `dx`

                          `=[(x^4)/2]_{1}^{3}-[(5x^2)/2]_{1}^{3}-[3x]_{1}^{3}`

                          `=(3^4-1^4)/2-(5.3^2-5.1^2)/2-(3.3-3.1)`

                          `=(40-20-6)`

                          `=14`

 

4. `int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx`

Penyelesaian:

`\int_{9}^{4} 1/\sqrt{x} dx=-int_{4}^{9} x^{-1/2}` `dx`

                      `=-[2x^{1/2}]_{4}^{9}`

                      `=-[2\sqrt{x}]_{4}^{9}`

                      `=-(2 sqrt{9}-2sqrt{4})`

                      `=-(6-4)`

                      `=-2`

C. Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

a. Teorema Simetri

Telah diketahui bahwa suatu fungsi genap `f(-x)=f(x)`, dan ganjil jika `f(-x)=-f(x)`. Untuk fungsi demikian berlaku:

`(1) \int_{-a}^{a} f(x) dx= 2 \int_{0}^{a} f(x)dx`, jika f fungsi genap

`(2)\int_{-a}^{a} f(x) dx=0`, jika f fungsi ganjil

Contoh:
Hitunglah `\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx`

Penyelesaian:

`\int_{-5}^{5} (x^5)/(x^2+4) dx`

`f(x)= (x^5)/(x^2+4)`

`f(-x)= ((-x)^5)/((-x)^2+4)= -x^5/(x^2+4) =-f(x)`

Karena `f(-x)=-f(x)`, maka `f(x)=-x^5/(x^2+4)` adalah fungsi ganjil, sehingga:

    `\int_{-5}^{5} (x^5)/x^2+4 dx=0`

b. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikiaan sehingga `f(x + p) = f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi f. Bilangan p adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika f suatu periodik dengan periode p, maka:

`\int_{a+p}^{b+p} f(x) dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) dx`

Contoh:

Hitunglah `\int_{0}^{2π} |sin x| dx`

Penyelesaian:

Karena `f(x)=|sin x|` fungsi periodik dengan periode `π`, maka:

`\int_{0}^{2π} |sin x| dx= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{π}^{2π} |sin x| dx`

                           `= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0+π}^{π+π} |sin x| dx` 

                           `= \int_{0}^{π} |sinx| dx+\int_{0}^{π} |sin x| dx`  

                           `=2 \int_{0}^{π} |sinx| dx`

                           `= 2\int_{0}^{π} sinx dx`

                           `= 2[-cosx]_{0}^{π}`

                           `= 2(-cosπ-(-cos 0))`

                           `= 2(-(1)-(-1))`

                           `=4`

   

c. Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral

Jika f fungsi kontinu pada selang [a,b], maka terdapat suatu c diantara a dan b sedemikian sehingga:

`\int_{a}^{b} f(x) dx=f(c)-f(b-a)`

Contoh:
Carilah nilai c sedemikian sehingga `\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)` jika `f(x)=x^2`

Penyelesaian:

`\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx`

                   `=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}`

                   `=27/3 -1/3`

                   `=26/3`

`\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`

`\frac{26}{3}=c^{2}(2)`

`c^2=26/6`

`c=±\sqrt{26/6}`

`c=±\sqrt{13/3}`

`c=±\sqrt{39/6}`

Untuk `c` `-\sqrt{39/6} ` tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang [1,3] jadi `c=\sqrt{39/6}.`

Sekian materi mengenai materi integral tentu-teorema dasar kalkulus, semoga teman-teman semakin paham yaa:')

Read More

INTEGRAL TENTU - KONSEP LUAS

Halooo guys,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral tentu, apasih integral tentu?. Yukk, simak pembahasan-nya

Integral tentu adalah integral yang memiliki batas-batas nilai tertentu, sehingga hasil akhirnya bisa ditentukan secara pasti. Batas-batas nilai itu merupakan nilai variabel dari fungsi yang telah diintegralkan.

Seperti halnya garis singgung yang mendasari turunan, masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

 1. Luas Menurut Poligon Dalam 

 Sebagai contoh, akan dicari `L(p)` Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)=x^2`, sumbu `–x`, garis `x = 0` dan `x = 2`. Pertama dipartisikan selang `0≤x≤2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `(\Delta)=\frac{2}{n}` dan memakai titik-titik : 

 

                  `x_0 = 0`

                  `x_1 = 0 + \Delta x = frac{2}{n} = (\frac{2}{n})`

                  `x_2 = 0 + \Delta 2x = \frac{4}{n} = 2 (\frac{2}{n})`

                  `x_3 = 0 + \Delta 3x = \frac{4}{n} = 3 (\frac{2}{n}) `

                         .

                         .

                  `x_n= 0 + n\Delta x = n (\frac{2}{n} = 2)`

Pada gambar tampak bahwa `L(P)_{dalam} < L(P)_{luar}`

2. Luas Poligon Luar

 `L(P)_{luar} = f(X_1) \Delta x + f(X_2) \Delta x+f(X_2) \Delta x+.....+ f(X_{n-1}) \Delta x`

                 `=1(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}+2(\frac{1}{2n})^2\frac{2}{n} +...+ n(\frac{1}{2n})^2 \frac{2}{n}`

                `=(\frac{2}{n})^3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)`

                `=(\frac{2}{n})^n\sum_{i=1}^ni^2`

                `=(\frac{2}{n})^3 (\frac{1}{6} (n+1)(3n+2))`

                `=8/3+4/n+4/3 n^2`

Sehingga: 

`\lim_{ n\to \infty} L(P)_{luar}``=\lim_{ n\to \infty} (\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3}n^2)=\frac{8}{3}`

Menurut teorema apit, maka untuk `L(P_{dalam}) < L(P) <L(P_{luar})` didapat `L(P)=8/3`. 

Selanjutnya, diambil suatu fungsi `f` yang terdefinisi pada selang`[a,b]`. Partisikan selang `[a,b]`atas `n` selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik :

`a = X_0<X_1<X_2 …….<X_{n-1}<X_n = b, \Delta X_i = X_i – X_{i-1}` (jarak antara titik `X_{i-1}` dengan `X_i`. Pada setiap selang bagian `(X_{i-1},X_i)` dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\overline {X_i}`sebagai berikut :

Sebuah partisi dari `[a,b]` dengan 5 selang bagian, jumlah:

`R_p=\sum_{i=0}^nf\left(x_i\right)\Delta x_i` disebut jumlah Rieman dari suatu selang dengan partisi. Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `|P|`menyatakan norma P, yaitu panjang selang bagian terpanjang dari partisi `P`, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:

Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `[a,b]`. Jika nilai dari `\lim_{ |P|\to 0}=``\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1` ada, maka dikatakan bahwa `f` terintegralkan pada `[a,b]`dapat ditulis sebagai: `\int _ { a } ^ { b} f(x)dx=\lim_{|P|\to 0} =\sum_{i=1}^n f(\overline {X_i}) \Delta X_1`yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) `f` dari `a` ke `b`.

Pada lambang `\int _ { a } ^ { b} f(x)dx`, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas dari integral tersebut.

Dalam definisi`\int _ { a } ^ { b} f(x)dx` secara implisit kita menganggap bahwa `a<b`. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.   

                               `•\int_a^bf\left(x\right)dx=0` 

                           `•\int_a^bf\left(x\right)dx=-\int_b^af\left(x\right)dx,a>b`

Contoh soal:

1.Hitunglah luas poligon yang dibatasi oleh kurva y=1/2 x, sumbu `x`, garis `x=2` dan `x=4` daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.

Penyelesaian:

Karena selang `[2,5]` dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\Delta x=\frac{4-2}{5}=frac{2}{5}`, dan

         `x_0=2`

        `x_1=2+1\Delta x=2+2/5=12/5`

         `x_2=2+2\Delta x=2+4/5=14/5`

         `x_3=2+3\Delta x=2+6/5=16/5`

         `x_4=2+4\Delta x=2+8/5=18/5`

          `x_5=2+5\Delta x=2+10/5=4`

Luas poligon dalam:

`L(P_{dalam})= f(x_0) \Delta x+f(x_1) \Delta x+f(x_2) \Delta x+f(x_3) \Delta x+f(x_4) \Delta x`

  `=(1/2)(2)(2/5)+ (1/2)(12/5)(2/5)+(1/2)(14/5)(2/5)+(1/2)(16/5)(2/5)+(1/2)(18/5)(2/5)`

 `=(2/5)+(12/25)+(14/25)+(16/25)+(18/25)`

 `=(14/25)`  

2. Hitunglah jumlah riemen `R_p` untuk `f(x)=x-1` dan partisi p adalah `3<3,75<4,25<5,5<6<7` serta titik-titik sampel `x_1=3,x_2=4,x_3=4.75,x_4=6,`dan `x_5=6.75`

Penyelesaian:

`R_p=\sum_{i=1}^5f(x_1)\Delta x`

   `=(2)(0,75)+(3)(0,5)+(3,75)(1,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)`

`= 15,9375`

3. Hitunglah `int_{-1}^3(x+4)dx` dengan menggunakan integral Riemann.

Penyelesaian: 

Bagi selang `[-1,3]` atas n selang bagian yang sama, masing-masing sebesar `\Delta x=(3-(-1))/n=4/n`. Pada setiap selang bagian `[x_{i-1},x_{i}]` digunakan `\overline x=x_i` sebagai titik sampai sehingga:

                  `x_0 = -1`

                  `x_1 = -1+ \Delta x = -1+ frac{4}{n}`

                  `x_2 = -1 + 2 \Delta x =-1+2(\frac{4}{n})`

                  `x_3 = -1 + 3 \Delta x = -1 + 3( \frac{4}{n})`

                         .

                         .

                  `x_i= -1 +  i \Delta x = -1+n (\frac{4}{n})`

                        .

                        .

                  `x_n= -1 + n\Delta x = -1+n (\frac{4}{n})=3`

Maka `f(x_1)=x_1 +4=(-1+i(4/n))+4= 3+ {4i}/n`

`\sum_{i=0}^n f(\overline{x_i})x_i=\sum_{i=0}^nf(\overline{x_i})\Deltax`

`=\sum_{i=0}^n (3+ {4i}/n)(4/n)=\sum_{i=1}^n(12/n) + \sum_{i=1}^n {16i}/n^2`

`=12/n (n) \sum_{i=1}^n1 +16/n^2\sum_{i=1}^n i`

`=12/n (n) + 16/n^2 (1/2 n(n-1))`

`=20-8/n`

Jadi, `int_{-1}^3(x+4)dx= \lim_{n to \infty} (20-8/n)= 20`

Sekian materi mengenai integral tentu, semoga teman-teman paham yaa :')

Read More

NOTASI SIGMA

 

Halo guys, pada artikel ini kita akan membahas mengenai materi notasi sigma. Yukk, simak materinya.

A. PENULISAN SIGMA

Perhatikan penulisan sigma berikut:

    1. `1^2+2^2+ 3^2+...+100^2 \to \sum_{i=1}^{100} i^2`

    2. `a_1, a_2, a_3,...+a_n \to \sum_{i=1}^{n} a_i`

Notasi sigma dilambangkan dengan `\sum` (huruf kapital sigma Yunani), yang berpadanan dengan huruf capital S. Menyarankan kepada kita untuk menjumlahkan (menambahkan) semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks `i` terus meningkat seiring peningkatan bilangan bulat positif, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang di atas tanda tersebut. Sehingga:

      ` • \sum_{i=2}^{5} b_i =b_2, b_3,b_4, b_5`

      `•\sum_{u=3}^{n} \frac{1}{u} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}`

      `•\sum_{k=1}^{3} \frac{k}{k^2+1}= \frac{1}{1^2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{3}{3^2+1}`

      `•\sum_{i=m}^{n} F(i)=F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)`

Bentuk lain penulisan sigma 

Misalnya:  

Jika semua c dalam `\sum_{i=1}^{n}=c_i` mempunyai nilai sama, maka:

     `\sum_{i=1}^{n}c_i= c+c+c+...+c=nc`

     `\sum_{i=1}^{n}c_i=nc`

Contoh:

    1. `\sum_{i=1}^{15} 3 = 15(3)=45`

    2. `\sum_{i=1}^{200} 5 =200(5)=1000`

    3. `\sum_{a=0}^{3} x^5 = x^5+x^5+x^5+x^5`

B. PERUBAHAN INDEKS JUMLAH

Terkadang dalam menentukan jumlah dengan notasi sigma, kita ingin mengganti indeks jumlah dengan indeks jumlah yang lainnya. Berikut contoh soalnya:

Nyatakan `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol

Penyelesaian:

`l= k-3`

`\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2} = \sum_{l=0}^{7} 5^{(l+3)-2}`

                      `=\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}`

Dapat di cek bahwa hasil dari `\sum_{k=3}^{7} 5^{k-2}` dan `\sum_{l=0}^{7} 5^{l+1}` adalah `5+5^2+5^3+5^4+5^5`

C. SIFAT  KELINEARAN SIGMA

Misalnya `a_i` dan `b_i` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta maka:

    `• \sum_{i=1}^{n} ca_i= c\sum_{i=1}^{n}a_i`

    `•\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)` `=\sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i`

    `•\sum_{i=1}^{n} (a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n} a_i -\sum_{i=1}^{n} b_i`

Contoh:

1. Misalkan `\sum_{j=1}^{50} a_j=30` dan `\sum_{j=1}^{50} b_j =15`

Hitunglah `\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)`

Penyelesaian:

`\sum_{j=1}^{50} (3 a_j+5 b_j)  =\sum_{j=1}^{50} 3 a_j+\sum_{j=1}^{50} 5 b_j`

                                `=3 \sum_{j=1}^{50} a_j+5 \sum_{j=1}^{50} b_j`

                                `=3(30)+5(15)`

                                `=90+45`

                                `=135`

2. Misalkan `\sum_{i=1}^{30} a_i=13` dan `\sum_{i=1}^{30} b_i=25`. 

Hitunglah `\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3)`

Penyelesaian:

`\sum_{i=1}^{30} (7 a_i-4 b_i+3) =``\sum_{i=1}^{30} 7a_i -\sum_{i=1}^{30} 4b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`

                                        `=``7 \sum_{i=1}^{30} a_i - 4 \sum_{i=1}^{30} b_i + \sum_{i=1}^{30} 3`

                                        `=7(13)-4(25)+30(3)`

                                        `=91-100+90`

                                        `=81`

D. BEBERAPA JUMLAH KHUSUS

Jumlah dari `n` bilangan bulat positif yang pertama, seperti halnya jumlah kuadrat-kuadratnya, pangkat tiganya, dan seterusnya. Beberapa dari masalah ini mempunyai rumus-rumus jumlah suku ke-`n`. Deret-deret tersbut diantaranya adalah:  

 `• \sum_{k=1}^n k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}` 

 `•\sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}`

 `•\sum_{k=1}^n k^3=1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}]^2` 

 `•\sum_{k=1}^n k^4=1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4`

                   `=\frac{n(n+1)(6 n^3+9 n^2+n-1)}{30}`

Contoh:

1. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{15} k(k+1)`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{15} k(k+1)  =\sum_{k=1}^{15} (k^2+k)`

                           `=\sum_{k=1}^{15} k^2+\sum_{k=1}^{15} k`

                           `=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}`

                           `=\frac{15(16)(31)}{6}+\frac{15(16)}{2}`

                           `=1240+120`

                           `=1360`

 2. Tentukan hasil dari `\sum_{k=1}^{10} k^3`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{10} k^3 =[\frac{n(n+1)}{2}]^2`

             `=[\frac{10(10+1)}{2}]^2`

             `=[\frac{10.11}{2}]^2 \Rightarrow[\frac{110}{2}]^2`

             `=55^2`

             `=3025`

Catatan:

Dalam rumus:

         `\sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}` atau

         `1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

Contoh:

Ekspresikan `\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2`dalam bentuk tertutup 

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{n} (2+a)^2= \sum_{k=1}^{n} (4+2a+a^2)`

                         `= \sum_{k=1}^{n} 4 + 2\sum_{k=1}^{n} a + \sum_{k=1}^{n} a^2`

                         `=  4n + (2×\frac{n(n+1)}{2}) + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

                         `= 4n+\frac{2n^2+2n} {2} + \frac{(n^2+n) (2n+1)}{6}`

                         `=\frac{24n}{6} + \frac {6^2+6n}{6} + \frac{2n^3 +3n^2 +n}{6}`

                            `=\frac{2n^3+9n^2 +31n}{6}`

                        `=\frac{1}{3} n^3 +\frac{3}{2}n^2 +\frac{31}{6} n`

Sekian materi singkat mengenai notasi sigma, semoga teman-teman paham yaa.

Read More