INTEGRAL FUNGSI RASIONAL KUADRAT

Halo teman-teman,

Setelah mempelajari mengenai Integral fungsi rasional linear. Pada artikel ini kita akan belajar mengenai integral fungsi rasional kuadrat dan integral fungsi rasional yang memuat sin dan cos. 

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadran atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan `n` parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{a x+b}+\frac{B x+C}{p x^2+q x+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat 

Berikut contoh soal mengenai Integral fungsi rasional  kuadrat 

Contoh: 

1. `frac{2 x^2-3 x-36}{( 2 x-1)(x^2+9)} d x`

Karena termasuk integran fungsi sejati, maka:

`\int \frac{2 x^2-3 x-36}{(2 x-1)(x^2+9)} dx =\int \frac{A}{(2 x-1)}+\frac{B x+C}{(x^2+9)} d x` 

                      `=\int \frac{A(x^2+9)+B x+C(2 x-1)}{(2 x-1)(x^2+9)} dx`

                      `=\int \frac{Ax^2+9A+2Bx^2-Bx+2Cx-C }{(2 x-1)(x^2+9)} dx`

                      `=\int \frac{(A+2B)x^2+(-B+2C)x+(9A-C)} {(2 x-1)(x^2+9)} dx`

Diperoleh `A+2B=2,-B+2C=-3, 9A-C=-36` maka `A=-4, B=3, C=0`

Sehingga diperoleh:

`\int 2x^2-3x-36 =\int \frac{-4}{2 x-1}+\frac{3 x+0}{x^2+9} d x`

                                `=\int \frac{-4}{2 x-1} d x+\int \frac{3 x}{x^2+9} d x`

                                `=-2 \ln |2 x-1|+\frac{3}{2} ln|x^2+9|+c`

2. `\int \frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2} d x`

integran merupakan Fungsi rasional Sejati maka:

`\int \frac{x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2} d x=\int \frac{x^3+x^2+x+2}{(x^2+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{(x+D)}{(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{(1+x+B)(x^2+2)+(C x+D)(x^2+1)}{(x+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{A x^3+2 A x+B x^2+2 B+x^3+Cx+D x^2+D} {(x+1)(x^2+2)} d x`

`=\int \frac{(A+C) x^3+(B+D) x^2+(2 A+C) x+(2 B+D)}{(x+1)(x^2+2)} d x`

Diperoleh:

`A+C  =1, B+D=1,2 A+C=1,2 B+D=2`  maka `A=0, B=1, C=1,D=0`

Sehingga diperoleh:

`\int \frac{3 x^3+x^2+x+2}{x^4+3 x^2+2}=\frac{1}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+2} d x`

                                        `=\int \frac{1}{x^2+1} d x+\int \frac{x}{x^2+2} d x`

                                        `=\arctan x+\frac{1}{2} ln|x^2+2|+C`

 

Integral Fungsi Rasional yang Memuat `sin x` dan `cosx`

Fungsi `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) ≠ 0`, `f(x)` dan `g(x)` memuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan ~`f(x)=sin x` dan `f(x)=cos x` tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan Metode Substitusi

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat `f(x)=sin x` atau `f(x)=cos x`

1. `F(x)=\frac{1-sin x}{cos x}`

2. `F(x)=\frac{1+sin x+cos x}{sin x}`

3. `F(x)=\frac{5 sin x+2}{cos x}`

4. `F(x)=\frac{1}{1+sinx-cos x}`

5. `F(x)=\frac{2}{1+sin x-cos x}`

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. `\int \frac{d x}{1+sin x-cos x}`

2. `\int \frac{d x}{2+cos x}`

3. `\int \frac{d x}{1+sin x}+cos x`

4. `\int \frac{1+2 sin x+cos x}{sin x} d x`

5. `\int \frac{1}{3-2 sin x} d x`

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

          `x=2 \arctan z` sehingga `dx=\frac{2}{1+z^2} dz`.

Selanjutnya `sin x` dan `cos x` disubstitusi ke bentuk variabel z. Karena `x=2 \arctan z` maka:

         `\Leftrightarrow \tan (\frac{x}{2})=z`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

       `1+\tan ^2(\frac{x}{2})=\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)`

       `\Leftrightarrow 1+z^2=\sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)`

       `\Leftrightarrow \cos ^2(\frac{x}{2})=\frac{1}{1+z^2}`

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

        `sin ^2 x+\cos ^2 x=1`

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2}\right)+\cos ^2(\frac{x}{2})=1`, sehingga didapat

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2})=1-\frac{1}{1+z^2}`

        `\Leftrightarrow \sin ^2(\frac{x}{2})=\frac{z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

        `\cos 2 x=\cos ^2 x-\sin ^2 x`

        `\Leftrightarrow \cos x=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2(\frac{x}{2})`

        `\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{1+z^2}-\frac{z^2}{1+z^2}`

        `\Leftrightarrow \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

        `\sin 2 x=2 \sin x \cos x`

        `\Leftrightarrow \sin x=2 \sin \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)`

        `\Leftrightarrow \sin x=2 \sqrt{\frac{z^2}{1+z^2}} \sqrt{\frac{1}{1+z^2}}`

        `\Leftrightarrow \sin x=\frac{2 z}{1+z^2}`

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi yaitu:

`x=2 \arctan z`, `\sin x=\frac{2 z}{1+z^2}, \cos x=\frac{1-z^2}{1+z^2}`

Untuk lebih jelasnya yukk teman-teman perhatian contoh soalnya.

1. `\int \frac{d x}{2+5 \sin x+\cos x}`

Penyelesaian:

`\int \frac{d x}{1+5 \sin x+\cos x}=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{1+5 \cdot \frac{2 z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{1+z^2}{1+z^2}+5 \cdot \frac{2 z}{1+z^2}+\frac{1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{1+z^2+10 z+1-z^2}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{2+10z}{1+z^2}}`

                                     `=\int \frac{2 d z}{2+10 z}`

                                     `=\int \frac{d z}{1+5 z}`

                                     `=\frac{1}{5} In|1+5 z|+C`

                                     `=\frac{1}{5}In|1+5 tan \frac{x}{2}|+C`

2. `\int \frac{d x}{4+5 \sin x}`

Penyelesaian:

`\int \frac{d x}{4+5 \sin x}=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{4+5 \frac{2 z}{1+z^2}}`

                          `=\int \frac{\frac{2 d z}{1+z^2}}{\frac{4+4 z^2+10 z}{1+z^2}}`

                          `=\int \frac{2 d z}{4+4 z^2+10 z}`

                          `=\int \frac{2 d z}{2(z+2)\left(2 z +1\right)}`

                          `=\int \frac{1 d z }{(z+2)(2 z+1)} d z`

                          `=\int \frac{A}{2 z+2}+\frac{B}{2 z+1} d z`

                          `=\int \frac{A(2 z+1)+B(z+2)}{(2 z+2)(2 z+1)} d z`

                          `=\int \frac{2 A z+A+B z+2 B}{(2 z+2)(2 z+1)} d z` 

                          `=\int \frac{(2 A+B) z+(A+2 B)}{(2 z+2)(2 z+1)} d z`

Diperoleh:

          `2A+B=0, A+2B=1` maka `A=\frac {-1} {3}, B=\frac{2} {3}`

Sehingga:

`\int \frac{dx}{4+5sinx} =\int \frac{\frac{-1}{3}}{z+2}+ \frac{\frac{2}{3}}{2z+1} dz`

                          `=\int - \frac{1}{3(z+2)}+\frac{2}{3(2z+1} dz`

                          `=\int -\frac{1}{3(z+2)} dz + \int \frac{2}{3(2z+1)} dz`

                          `=-\frac{1}{3} In |z+2| +\frac{1}{3} In|2z+1| + C`

Sekian materi dari materi integral fungsi rasional kuadrat dan integral fungsi rasional yang memuat sin dan cos, semoga teman -teman paham materi nya yaa.

Read More

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL LINEAR

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas materi mengenai integral fungsi rasional linear

A. Definisi

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x), g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)≠0`. Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_n x^n, n=1,2,3,...` sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

B. Pembagian Fungsi Rasional 

~ Fungsi rasional sejati : Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih kecil daripada derajat polinom penyebut `g(x)`.

~ Fungsi rasional tidak sejati: Jika derajat atau pangkat polinom pembilang `f(x)` lebih besar atau sama dengan  derajat polinom penyebut `g(x)`.

Contoh:

     1. `F(x)= \frac{x+1}{x^2 -2x+1}` (Fungsi Rasional Sejati)

     2. `F(x)=\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

    3. `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}` (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

     `F(x)=\frac{x^5-2x^3-x+1}{x^3+5x}`

               `=x^2-3 + \frac{(14x+1)}{(x^3+5x)}`

     `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, g(x)≠0`

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk     fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}` sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:

`•` Fungsi linear berbeda,
`g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dstnya
`•` Fungsi linear berulang,
`g(x)=(x-a)^n  =(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`
`•` Fungsi linear dan kuadrat,
`g(x)= (x-a)(ax^2 +bx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berbeda,
`g(x)=(ax^2+bx+c)(px^2+qx+c)`
`•` Fungsi kuadrat berulang,
`g(x)=(ax^2+bx+c)^n` dan seterusnya

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya

Misal:
`•` Penyebut kombinasi linear berbeda
. `\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax_1+b_1)}+ \frac{A_2}{(ax_2+b_2)}+...`
`•` Kombinasi linear berulang
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1}{(ax+b)}+ \frac{A_2}{(ax+b)^2}+ \frac{A_3}{(ax+b)^3}`+...
`•` Kombinasi kuadrat berbeda
`\frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A_1x+B_1}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+ \frac{A_2x+B_2}{(A_1 x^2+b_1x+c_1)}+...`

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_1, A_2,...,A_n` dan `B_1, B_2,...,B_n`

Contoh soal:

1.  `\int \frac{16}{x^2 -16} dx` `=\int \frac{16}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-4} dx`

                               `=\int \frac{A(x-4)+B(x+4)}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{(Ax-4A)(Bx+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`

                               `=\int \frac{(A+B)x+(-4A+4B)}{(x+4)(x-4)} dx`

Sehingga diperoleh:

     `A+B= 0`

     `-4A+4B = 16`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai

`A= -2` dan `B= 2`

Jadi, `\int \frac{16}{x^2 -16} dx``=\int  \frac{-2}{x+4}+ \frac{2}{x-4} dx`

                                   `=\int \frac{-2}{x+4} dx + \int \frac{2}{x-4} dx`

                                   `= -2 In |x+4| + 2 In |x-4| +C`

2. `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}`

`\int \frac{3x-13}{(x+5)(x-2)}dx = \int \frac{A}{(x+5)}+\frac{B}{(x-2)}  dx`

                                        `=\int\frac{A(x-2)+B(x+5)}{(x+5)(x-2)}` dx 

                                        `= \int\frac{(Ax-2A)+(Bx+5B)}{(x+5)(x-2)} dx`

                                        `=\int \frac{(A+B)x+(-2A+5B)}{(x+5)(x-3)} dx`

Sehingga diperoleh:

       `A+B=3`

       `-2A+5B=-13`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai `A=4` dan `B= -1`

Jadi, `\int \frac{3x-13}{x^2+3x-10}= \int frac{4}{x+5} - \frac{1}{x-2} dx`

                                         `=\int \frac{4}{x+5} dx- \int \frac{1}{x-2} dx` 

                                         `= 4 In|x+5|- In |x-2| +C`

3. Tentukan  `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx`

Karena integran diatas bukan fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom sama dengan pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:

`\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= \int  1+ \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

                                  `=\int 1 dx + \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

                                  `=x+C+ \int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx`

`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx``=\int \frac{5x+4}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} dx`

                                  `=\int \frac{A(x-4) +B (x+2)}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac {(Ax-4A)+(Bx+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`

                                  `=\int \frac {(A+B)x + (-4A+2B)}{(x+2)(x-4)} dx`

Sehingga diperoleh:

     `A+B=  5`

      `-4A+2B=4`, maka dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi diperoleh `A=1` dan `B=4`

`\int \frac{5x+4}{x^2-2x-8} dx` `= \int \frac {1}{x+2} +\frac{4}{x-4} dx`

                                   `=\int \frac {1}{x+2} dx` `+ \int \frac{4}{x-4} dx`

                                   `= In |x+2| + 4 In |x-4|+C`

Jadi, `\int \frac{x^2 +3x-4}{x^2-2x-8} dx``= x+In |x+2| +4 In|x-4|+C`

4.  Tentukan `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

Karena integran diatas bukan  fungsi rasional sejati di mana pangkat pembilang polinom  lebih besar dari pangkat penyebut sehingga perlu dilakukan pembagian polinom terlebih dahulu, diperoleh:

 `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

`=\int 2x-1 -\frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`=\int 2x dx-\int 1 dx -` `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`= x^2-x +C - \int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx`

`\int\frac{-2x-8}{(x+2)(x-2)} = \int \frac{A}{(x+2)} + \frac{B}{(x-2)} dx`

                                   `=\int \frac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)} dx`

                                   `=\int \frac{(Ax-2A)(Bx+2B)} {(x+2)(x-2)} dx`

                                   `=\int \frac{(A+B)x +(-2A+2B)}{(x+2)(x-2)} dx`

Sehingga diperoleh:

      `A+B= -2`

     ` -2A+2B= -8`, maka dengan proses  eliminasi dan substitusi diperoleh nilai  `A= 1` dan `B= -3`

`\int \frac{2x-8}{x^2-4} dx``= \int \frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-2} dx`

                        `= \int \frac{1}{x+2} dx - \int \frac{3}{x-2} dx`

                        `= In |x+2|- 3 In|x-2|+C`

Jadi, `\int \frac{2x^3-x^2-10x-4}{x^2-4} dx`

`= x^2 -x +In |x+2|- 3 In|x-2|+C`

Sekian materi mengenai integral fungsi rasional linear, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More

INTEGRAL TAK TENTU - INTEGRAL PARSIAL

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai metode parsial pada integral tak tentu. 

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana `u = f(x)` dan `v = g(x).` Karena `y = u.v`, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi  `y = uv` diperoleh:

`dy=d(uv)`

`d(uv)=udv+vdu`

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:

`\int d(uv)=\int udv+\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=\int d(uv)-\int vdu`

`\Leftrightarrow \int udv=uv-\int vdu`

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integral yang berbentuk `uv` di manipulasi menjadi `u dv` dan dalam menentukan `udv` tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan `int` tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1.  Tentukan `\int 3x e^{2x} dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u=3x, du= 3` 

                  `dv=e^{2x} dx , v= \int e^{2x} dx=\frac{e^{2x}}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int 3x e^{2x} dx= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. d(3x)`

                   `= 3x.\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}. 3` `dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x}-\frac{3}{2}\int e^{2x}dx`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{2} . \frac{e^{2x}}{2}  +C`

                   `= \frac{3}{2}xe^{2x} - \frac{3}{4}e^{2x}  +C`

2.  Tentukan `\int x cos 2x` `dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= x, du= 1 dx`

                 `dv= cos 2x, v= \int cos 2x``dx=  \frac{sin 2x}{2}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`\int x cos 2x= x.\frac{sin 2x}{2} - \int \frac{sin 2x}{2} dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} - \frac{1}{2} \int sin 2x` `dx`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{1}{2}\frac{cos 2x}{2}+C`

                   `=\frac{xsin 2x}{2} + \frac{cos 2x}{4}+C`

3. Tentukan `\int x \sqrt{x+2}``dx`

Penyelesaian:

Misalnya: `u=x, du= 1 dx`

                   `dv= \sqrt{x+2} dx, v= \int \sqrt{x+2}= \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}}`

Maka dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh:

`\int udu= uv-\int v du`

`int x \sqrt{x+2}``dx= x.\frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} dx`

                         ` = \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3}{2}}- \frac{2}{3} \frac{(x+2)^{\frac{5}{2}}}{frac{5}{2}}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{5}{2}}- \frac{2}{3}.\frac{2}{5}(x+2)^ \frac{5}{2}+C`

                         `= \frac{2}{3}x(x+2)^{\frac{3} {2}}- \frac{4}{15}(x+2)^{\frac{5}{2}+C`

                         

Sekian materi mengenai integral parsial, semoga teman-teman semakin paham yaa. 

                   

Read More

INTEGRAL SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI

Halo teman-teman,

Setelah pembahasan mengenai integral fungsi trigonometri , pada artikel ini kita akan membahas mengenai teknik substitusi pada integral fungsi trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk 

`•\sqrt{a^2-x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2+x^2}, a>0, a` € Real
`•\sqrt{x^2-a^2}, a>0, a` € Real

Atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya:

•`\sqrt{a^2-b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2-x^2}`
•`\sqrt{a^2+b^2 x^2}=\sqrt{(\frac{a}{b})^2+x^2}`
•`\sqrt{a^2 x^2 - b^2}=\sqrt{(x^2-\frac{b}{a})^2}` atau `\int \sqrt{ax^2+bx+c}` dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Bentuk integrannya diantaranya:

1. `\sqrt{a^2-x^2}` gunakan substitusi

     `x=a sin t` atau `sin t=\frac{x}{a}`

     `x=a sin t``\Leftrightarrow dx= a cos t``dt`

     Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:

     `\sqrt{a^2 -x^2}= \sqrt{a^2-(a sin t)^2}`

                         `= \sqrt{a^2(1-sin^2 t)}`

                         `= a cos t`

2.  `\sqrt{a^2+x^2}` gunakan substitusi

     `x=a tan t` atau `tan t=\frac{x}{a}`

     `x=a tan t``\Leftrightarrow dx= a sec^2 t``dt`

     Dengan `-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}` sehingga:

     `\sqrt{a^2 +x^2}= \sqrt{a^2+(a tan t)^2}`

                         `= \sqrt{a^2(1-tan^2 t)}`

                         `= a sec t`

3.  `\sqrt{x^2-a^2}` gunakan substitusi

     `x=a sec t` atau `sec t=\frac{x}{a}`

     `x=a sec t``\Leftrightarrow dx= a sec t tan t``dt`

     Dengan `0≤t<\frac{π}{2};(x≥a)` dan`\frac{π}{2}≤t≤π; (x≤a)` sehingga:

     `\sqrt{x^2 +a^2}= \sqrt{(a sec t)^2 a^2}`

                         `= \sqrt{a^2sin^2 t-a^2)}`

                         `= a tan t`

Catatan:

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu `cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t`.Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh soal:

1. Tentukan `int \sqrt{16-x^2}`

Penyelesaian:

Substitusikan `x= 4 sin t \Rightarrow sin t =\frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow dx= 4 cos t``dt`

`\sqrt{16-x^2} = \sqrt{16-16sin^2 t}`

                    `=\sqrt{16(1-sin^2 t)}`

                    `=4 cos t`

Sehingga:

`int \sqrt{16-x^2}dx``= \int 4 cos t(4 cos t dt)`

              `=16\int cos t.cos t` `dt`

              `= 16 \int cos^2 t dt`

              `=16 \int \frac{1+cos 2t}{2}dt`

              `=8 \int(1+cos 2t)dt`

              `= 8\int dt + 8\int cos 2t` `dt`

              `=8t + 4 sin 2t +C`

              `= 8t+8 Sin t cos t +C`

              `= 8 arcsin \frac{x}{4}+ 8(\frac{x}{4})(\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}) +C`

              `= 8 arcsin \frac{x}{4}+(\frac{x\sqrt{16-x^2}}{2})+C`

 

2. Tentukan `\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

Penyelesaian:

`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

Substitusikan`x= 4 tan \Rightarrow tan t= \frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow d(x)= 4 sec^2 t` `dt`

`\sqrt {16+x^2}=\sqrt{16 + (4 tan t )^2}`

                    `=\sqrt{16 (1+ tan^2 t)}`

                    `=4sec t`

Sehingga`\int \frac{dx}{\sqrt{16+x^2}}`

           `= \int \frac{4sec^2 t dt}{4 sec t}`C`

           `=\int sec t` `dt`

           `=In | sec t+tan t| +C`

           `=In|\frac{\sqrt{16+x^2}}{4}+\frac{x}{4}|+C`

3. Tentukan `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`

Penyelesaian:

Substitusikan `x=5 sec t \Rightarrow sec t =\frac{x}{5}`

`\Leftrightarrow dx= 5 sec t tan t` `dt`

`\sqrt{x^2- 25} = \sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`

                    `=\sqrt{(5 sec t)^2 - 25}`

                    `= \sqrt{5 tan t}`

Sehingga: `\int \frac{\sqrt{x^2 +25}}{x}dx`

                `=\int \frac{5tan t}{5 sec t}  (5sec t tan t dt)`

                `=\int \frac{25 sec t tan t+ tan^2 t}{5 sec t} dt`

                `= 5\int tan^2 t` `dt`

                `= 5 \int (sec^2 t-1) dt`

                `= 5 tan t -5t+c`

                `= 5 \frac{\sqrt{x^2-25}}{5}-5 arcsec \frac{x}{5} +C`

Sekian materi pada artikel ini, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Halo teman-teman,

Pada artikel ini kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri.Integral fungsi trigonometri yaitu kebalikan dari turunan trigonometri. Di mana, integral tersebut juga memuat fungsi trigonometri. 

Sebelum membahas lebih rinci mengenai teknik integral fungsi trigonometri, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

`•\int sin xdx=-cosx +C`
`•\int cos x dx= sin x+ C`
`•\int tan x dx= In|sec x|+C=-In |cos x| + C`
`•\int csc x dx= In|csc x-cot x|+ C`
`•\int sec x dx= In|sec x+tan x|+C`
`•\int cot x dx= -In|sec x|+C=-In |sin x| + C`

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. `\int sin^m x dx` dan `\int cos^m x dx` dengan `m` bilangan ganjil atau genap positif

• Jika m bulat positif  ganjil, maka m diubah menjadi `(m-1)+1`, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya gunakan kesamaan identitas `sin^2 x + cos^2 x=1`

• Jika m bilangan bulat positif genap, selesaiannya dapat dilakukan dengn menggunakan identitas: `sin^2 x=\frac{1-cos 2x}{2}` dan ` cos^2 x= \frac{1+cos 2x}{2}`

Contoh:

1. Tentukan`\int cos^5 x dx`

Penyelesaian:

`\int cos^5 x dx`

`=\int cos^4 x` `cos x` `dx`

`=\int (cos^2 x)^2` `cos x` `dx`

`=\int  (1-sin ^2x)^2` `d(sin x)`

`=\int (1-2sin^2 x + sin^4 x)` `d(sin x)`

`=\int 1``d(sin x)- 2\int sin^2 x``d(sin x) + sin^4x``d(sin x)`

`=Sin x-\frac{2}{3} sin^3 x + \frac{1}{5} sin^5 x`

2. Tentukan `\int sin^4 x dx`

Penyelesaian:

`\int sin^4 x dx`

`=\int (sin^2 x)^2 dx`

`=\int (\frac{1-cos2x}{2})^2 dx`

`=\int (\frac{1-2cos2x+ cos^2 2x}{4})dx`

`=\int \frac{1}{4} dx-\int\frac{cos 2x}{2}dx+\int \frac{cos^2 2x}{4} dx`

`=\int \frac{1}{4}dx-\int \frac{sin2x}{4}dx+\frac{1}{4}\int cos^2 (2x) dx`

`=\frac{x}{4}-\frac{sin 2x}{4}+\frac{x}{8}+\frac{sin 4x}{32}+C`

`=\frac{3x}{8}-\frac{sin 2x}{4}+ \frac{sin 4x}{32}+C`

B. `\int sin^m  x cos^m x dx`

Jika `m` atau `n` bilangan bulat positif ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maja faktorkan ` sin x` atau `cos x` dengan menggunakan kesamaan identitas `sin^2 x+cos^2x=1`.

Contoh:

1. Selesaikan `\int sin^2 x cos^5 x`

Penyelesaian:

`=\int sin^2 x cos^5 x`

`=\int sin^2x(cos^2 x)^2cos x dx`

`=\int sin^2x(1-sin^2x)^2 d(sin x)`

`=\int sin^2 x(1-2sin^2 x+sin^4 x) d (sin x)`

`=\int (sin^2 x-2 sin^4 x+sin^6 x)d(sinx)`

`=\int sin^2 xd(sin x)-\int 2 sin^4xd(sinx) + \int sin^6 x d(sin x)`

Misalnya:  `u=sinx`, maka:

`=\int u^2 du-\int 2u^4 du +\int u^6 du`

`=\frac{1}{3}u^3 - 2\frac{1}{5} u^5 + \frac{1}{7}u^7+C`

`=\frac{1}{3}sin^3x-\frac{2}{5} sin^5x +\frac{1}{7} sin^7 x+C`

2. Selesaikan `\int sin^2 x cos^4 x`

Penyelesaian:

`=\int sin^2 x cos^4 x`

`=\int` `[(\frac{1-cos 2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})^2]dx`

`=\frac{1}{8}\int` `[(1-cos2x)(1+2cos2x+cos^2 2x)] dx`

`=\frac{1}{8}\int[ 1(1+2cos2x+cos^2 2x)-cos2x(1+2cos2x+cos^2 2x) ]`

`dx` 

`=\frac{1}{8}\int[1+2cos2x+cos^2 2x-cos2x-2 cos^2 2x-cos^3 2x] dx`

`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-cos^2 2x- cos^3 2x]dx`

`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-frac{1}{2}(1+cos4x)-(1-sin^2 2x)cos 2x]dx`

`=\frac{1}{8}\int``[1+cos 2x-frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-(cos 2x-sin^2 2x cos 2x)`

`=\frac{1}{8}\int[1+cos 2x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos 4x-cos 2x+sin^2 2x cos 2x] dx`

`=\frac{1}{8}\int` `[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos 4x+sin^2 2x cos 2x] dx`

`=\frac{1}{8}[\int\frac{1}{2}dx-\frac{1}{8}\int cos 4x` `d(4x)``+\frac{1}{2}\int sin^2 2x d(sin 2x)]`

`=\frac{1}{8}[\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}sin 4x+\frac{1}{6}sin^3 2x] +C`

C. `\int tan^n x dx` `\int cot^n x dx`

`•\int tan^n x dx`, faktorkan `tan x` kemudian gunakan identitas `tan^2x=sec^2x-1`
`•\int cot^n x dx`, faktorkan `cot x` kemudian gunakan identitas `cot^2x= csc^2 x-1`

Contoh:

1. Tentukan `\int tan^5 xdx`

Penyelesaian:

`\int tan^5 xdx`

`=\int tan^3 x.tan^2x dx`

`=\int tan^3 x(sec^2x-1)dx`

`=\int (tan^3x sec^2x-tan^3 x)dx`

`=\int (tan^3x sec^2 x-tan x.tan^2 x)dx`

`=\int (tan^3x sec^2 x-tan x(sec^2x-1))dx`

`=\int(tan^3 xsec^2 x-tan xsec^2x +tan x)dx`
`=\int tan^3 x sec^2xdx-\inttan xsec^2xdx+\int(tan x) dx`

Misalnya: `tan x=t` dan `sec^2x dx=dt` maka:

`=\int t^3 dt-\int t dt + \int tan x dx`

`=\frac{t^4}{4}-\frac{t^2}{2}+ In|secx|+C`

`=\frac{tan^4 x}{4}-\frac{tan^2x}{2} +In|sec x|+C`

2. Tentukan `\int cot^6 x dx`

Penyelesaian:

`\int cot^6 x dx`

`=\int cot^4 xcot^2x dx`

`=\int cot^4(csc^2 x-1) dx`

`=\int cot^4 x csc^2x dx-\int cot^4 x dx`

`=\int cot^4 x csc^2 x dx- \int cot^2 x(csc^2 x-1)`

`=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int cot^2 x dx`

`=\int cot^4 xcsc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int (csc^2 x -1)dx`

`=\int cot^4 x csc^2 x dx-\int cot^2 x csc^2 x dx+ \int csc^2 x dx-\int dx`

Misalnya: `t= cot x` dan `-csc^2 x dx= dt` diperoleh:

`=-\int t^4 dt+\int t^2 dt-\int dt-\intdx`

`=-\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}-t-x+C`

`=-\frac{cot^5 x}{5}+\frac{cot^3 x}{3}-cot x-x+C`

D. `\int tan^m x dx` `sec^n x dx` dan `\intcot^m x dx` `csc^n x dx`

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan `1+tan^2 x=sec^2 x`  dan `1+cot^2 x =csc^2 x`, begitu pula dengan ganjil.

Contoh:

Tentukan `\int tan^3 x sec^4 x` `dx`

Penyelesaian:

`\int tan^3 x sec^4 x` `dx`

`=\int tan^3 x (sec^2 x) ^2 dx`

`=\int tan^3 x (1+tan^2 x) sec^2x``dx`

`=\int (tan^3 x+tan^5 x) d(tan x)`

`=\frac{1}{4} tan^4 x+ \frac{1}{6} tan^6 x + C`

E. `\int sin mx cos nx``dx`, `\int sin mx sin nx``dx`, `\int cos mx cos nx` `dx`

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

`•sin mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]`
`•sin mx sin nx``dx``=-\frac{1}{2}[cos(m+n)x-cos(m-n)x]`
`•cos mx cos nx``dx``=\frac{1}{2}[cos (m+n)x+cos(m-n)x]`

Contoh:

1. Tentukan `\int sin 2x cos 3x dx`

Penyelesaian:

`\int sin 2x cos 3x dx`

`=\int \frac{1}{2}[sin(2+3)x+sin(2-3)x]dx`

`=\frac{1}{2} \int[sin 5x +sin(-x)]dx`

`=\frac{1}{2} [ \int sin 5x dx -\int sin(x) dx]`

`=\frac{1}{2} [\frac{-cos 5x}{5} +cos(x)]+ C`

`=-\frac{1}{10}cos 5x+\frac{1}{2} cos x+C`

2. Tentukan `\int cos 7x cos 5x dx`

Penyelesaian:

`cos 7x cos 5x dx`

`=\int \frac{1}{2}[cos (7+5)x+cos(7-5)x]dx`

`=\frac{1}{2}\int [cos 12x+cos 2x] dx`

`=\frac{1}{2}[\int cos 12x+\int cos 2x] dx`

`=\frac{1}{2}[\frac{sin 12x}{12}+\frac{sin 2x}{2}]+C`

`=\frac{1}{24} sin 12x+\frac{1}{4} sin 2x+C`

Sekian materi dari integral fungsi trigonometri, semoga teman-teman semakin paham yaaa.

Read More