METODE SUBSTITUSI -INTEGRAL TAK TENTU

Halo guys, setelah pembahasan mengenai integral tak tentu, kali ini kita akan membahas salah satu metode untuk menyelesaikan masalah integral tak tentu yaitu metode substitusi. 

Teknik substitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubstitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `u`. Untuk menentukan `\int f(x) dx` kita dapat mensubstitusikan `u=g(x)` dan `du=g^'(x)dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. 

Teorema aturan substitusi yaitu:

Jika `u=g(x)` adalah fungsi yang terdiferensiasikan dengan daerah hasilnya adalah interval I dan `f` kontinu pada I maka :

`\intf(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du`

Metode substitusi untuk menghitung `\intf(g(x))g'(x)dx`:

1. Substitusikan `u=g(x)` dan `du=(du/dx)dx=g^'(x)dx` untuk memperoleh `\int f(u)du`
2. Integrasikan terhadap `u`
3. Gantikan `u` dengan `g(x)`

Contoh:

1.Tentukan `\int (x^2 +7x)^5(5x^3 +2)dx`

Penyelesaian:

Misalnya `u= (x^2+7x)`, maka `du= (5x^3 +2)dx` sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`= \int (x^2+7x)^5 (5x^3+2) dx`

`= \int (u)^5 du`

`= \frac {1}{6} (u)^6 +C`

`= \frac {1}{6} (x^2+7x)^6+ C`

2. Tentukan `\int (2x+12)^8 dx`

Penyelesaian:

• Misalnya `u =2x+12`

•`d(u)= d(2x+12)`

• `du= 2dx`

•`dx=\frac{du}{2}`

Sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

 `\int (2x+12)^8 dx=` `\int u^8 \frac{du}{3}`

`=\frac{1}{3} \int u^8 du`

`=\frac{1}{3} (\frac {u^9}{9}) +C`

`= \frac{1}{27} u^9 + C`

`=\frac{(2x+12)^9}{27}+C`

3. Tentukan `\int \sqrt{5-3x} dx`

Penyelesaian:

Misal `u=5-3x` maka `du=-3x`, `dx= -\frac{1}{3} du`

Dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \sqrt{5-3x}`

`=\int \sqrt{u}(-\frac{1}{3}du)`

`=\int u^{\frac{1}{2}}(-\frac{1}{3})du`

`=\int -\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} du`

`=-\frac{1}{3}\times\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} +C`

`=-\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} u^\frac{3}{2}+C`

`=-\frac{2}{9}u^\frac{3}{2}+C`

`=-\frac{2}{9}(5-3x)\sqrt{5-3x}+C`

4. Tentukan`\int \sqrt{5x^2+2x} (5x+1)dx`

penyelesaian:

• Misalnya `u=\sqrt{5x^2 +2x}`

• `u^2= 5x^2+2x`

•`d(u^2)=d(5x^2+2x)`

•`2u` `du``=``10x+2`

•`2u` `du``=``2(5x+1)dx`

•`u` `du``=``(5x+1)dx`

Sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \sqrt{5x^2+2x} (5x+1)dx`   

`=\int u` `udu`

`=\int u^2 du`

`=\int \frac{1}{3} u^3 +C`

`=\int \frac{1}{3} (5x^2+2x) \sqrt{5x^2+2x}+C`

5. Tentukan `\int \frac{r}{\sqrt{3r+5}} dr`

Penyelesaian:

• Misalnya`u=\sqrt{3r+5}`

• `u^2=3r+5`

• `d(u^2)=d(3r+5)`

• `2u` `du` = 3 dr`

• `dr=\frac{2}{3} u` `dr`

Karena `u^2 =3r+5` maka `r=\frac{u^2-5}{3}` sehingga dengan teknik substitusi diperoleh:

`\int \frac{r}{\sqrt{3r+5}} dr`

`=\int \frac{\frac{u^2-5}{3}}{u}\times\frac{2u du}{3}`

`=\int \frac{u^2-5}{3u} \times \frac{2u du}{5}`

`=\int \frac{2(u^2-5)}{15} du`

`=\frac{2}{15}\int(u^2-5)du`

`=\frac{2}{15}(\int u^2du-\int 5 du)`

`=\frac{2}{15}(\frac{u^3}{3}-5u) +C`

`=\frac{2}{45} u^3-\frac{10}{15}u +C`

`=\frac{2}{45} (3r-5) (\sqrt{3r-5})-\frac{10}{15}(\sqrt{3r-5})+C`

Nah, sekian penjelasan singkat mengenai metode substitusi pada integral tak tentu. Semoga teman-teman makin paham yaa.

Read More

INTEGRAL TAK TENTU

Halo teman-teman, pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai materi dan contoh soal mengenai integral tak tentu. Yuk langsung simak materinya.

A.Definisi

Integral adalah suatu bentuk pada operasi matematika yang menjadi kebalikan atau biasa juga disebut sebagai invers dari operasi turunan. Serta limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu.

Terdapat dua macam hal yang harus dilaksanakan di dalam operasi integral yang mana keduanya telah dikategorikan menjadi 2 jenis integral yaitu integral sebagai invers atau kebalikan dari turunan atau yang biasa juga disebut sebagai Integral Tak Tentu dan integral sebagai limit dari jumlah maupun suatu luas daerah tertentu yang disebut sebagai integral tentu.

Integral tak tentu merupakan suatu fungsi baru yang turunannya sama seperti fungsi aslinya. Jenis integral ini tidak memiliki batas dan belum mempunyai nilai yang jelas. Nilai yang belum jelas ini dilambangkan dengan konstanta (C). Sedangkan, lambang integral tak tentu tidak mempunyai batas atas dan batas bawah.

`\int f(x)dx= F(x)+C`

Keterangan:
`\int f ( x ) =` Notasi integral tak tentu
`f ( x ) + C= ` Fungsi anti turunan
`f(x)=` Fungsi yang di integralkan (integran)
`C=` Konstanta
`d(x)=` Differensial (turunan) dari `x`

B. Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
Misalnya `f(x)` dan `g(x)` masing - masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real maka:

• `\int dx=x+C`
•`\int kdx= kx+C`
•`\int (f(x)±g(x))dx= \int f(x) dx±\int g(x)dx`
• `\int k f(x)dx= k \int f(x)dx`
• Dalam kasus n ≠ -1, maka:
a.`\int x^n dx=\frac{1}{n+1} x^{n+1} +C`
b. `\int kx^n dx=\frac{k}{n+1} x^{n+1} +C`

Contoh:
Carilah anti turunan dari:
1. `\int 3 dx=3x+C`
2. `\int x^5 dx=\frac{1}{5+1}x^{5+1} + C`
`= \frac{1}{6}x^6 +C`
3. `\int 5x^4+3x^2-6x`
= `\int 5 x ^ 4 + \int 3 x ^ 2 - \int 6 x`
= `5 \int x^{ 4 }dx + 3\int x^2 + 6\int x dx`
= `5\frac{1}{5}x^5 +C_{1} + 3\frac{1}{3}x^3 + C_{2} - 6\frac{1}{2}x^2 + C_{3}`
= `\int x^5 + x^3 + 3x^2 + C`

C. Aturan Pangkat Yang Diperumum
Misalkan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan r suatu bilamgan rasional yang ≠ -1, maka:

`\int (g(x))^{n}.g'(x) dx=\frac{g(x)^{n+1}}{n+1} +C`

Jika dimisalkan `u=g(x)`, maka `\frac{du}{dx}` = `g'(x)` atau `du=g'(x)dx` , sehingga bentuk diatas dapat diperoleh:

`\int u^n du=\frac{u^{n+1}}{n+1} +C,n≠1`

Contoh:
1. Selesaikan `\int (x^3 +5x)^8(2x^5 +3)dx`
Penyelesaian:
Misalnya `u= (x^3+5x)`, maka `du= (2x^5 +2)dx` sehingga:
= `\int (x^3+5x)^8 (2x^5+3) dx`
= `\int (u)^8 du`
= `\frac {1}{9} (u)^9 +C`
= `\frac {1}{9} (x^3 +5x)^9 + C`

D. Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Dari Turunan Fungsi Trigonometri
`\frac{d}{dx}( sin x )= cos x, \frac{d}{dx} ( cosx)=-sin x, dan \frac{d}{dx} (tan x)=sec^{2}x`
maka anti turunannya adalah:

• `\int cos x= sin x + C`
•`\int sin x=-cos x + C`
• `\int sec^2 x = tan x+C`
•`\int cos^{n} x sin xdx= -\frac{cos ^{n+1}x}{n+1}+C, n≠-1`
• `\int sin^{n} x cos xdx= \frac{sin ^{n+1}x}{n+1}+C, n≠-1`

Dengan aturan rantai yang digunakan pada fungsi trigonometri, diperoleh rumus-rumus sebagai berikut:
Misalkan `u=g(x)` maka `du=g'(x)dx` sehingga:
`\int (cos u) du = sin u+ C, \int (sin u) du =-cos u + C, dan \int (sec^2 u) du = tan u +C`

Contoh:
1. Hitunglah `\int cos 2x dx`
Penyelesaian:
Misalkan `u=2x` maka `du=2` atau `dx=\frac{1}{2} du` sehingga:
`\int 2x dx`= `\int cos u \frac{du}{2}`
= `\frac{1}{2} \int (cos u) du`
= `\frac{1}{2} (sin u) + C`
= `\frac {1}{2} sin 5x+C`

2. Hitunglah `\sin^2 4x cos x dx`
Penyelesaian:
Misalkan `u= sin 4x`, maka `du= cos x dx` sehingga:

`\int sin^2 4x cos x dx`= `\int u^2 du`
= `\frac{1}{3} u^3 +C`
= `\frac{1}{3} sin^3 4x +C`

Nah, sekian penjelasan singkat mengenai integral tak tentu. Semoga teman-teman makin paham yaa.

Read More